À propos de la continuité des homéomorphismes

lowley · May 2020

Bonjour
j'essaie après de longues années d'inactivité au niveau mathématique de lire le livre "le calcul des tresses" de P. Dehornoy et il y a une chose au début que je ne comprends pas.

Il est dit (c'est une note de bas de page, je ne crois pas qu'il soit nécessaire de détailler le contexte).
"prenez l'exemple de la symétrie par rapport au plan {1/2}xR2 (note R2 est RxR, le plan réel), c'est un indiscutable homéomorphisme de [0,1]xR2 (note : ça j'ai compris), mais il n'y a aucune raison pour que l'on puisse déformer continûment une figure sur son image par symétrie."

Auriez-vous un exemple d'une où une telle déformation est non continue ?
Merci et bonne soirée.

Poirot · May 2020

Je pense que Dehornoy parle d'homotopie à ce moment pour parler de "déformer continûment". Un homéomorphisme va envoyer "en une étape" une figure sur son image, une homotopie décrit une déformation progressive continue menant de la figure initiale à la figure finale. Ce n'est pas du tout la même chose.

Une idée pour construire un contre-exemple (il y a sûrement plus simple), la figure est $\left(\{1/2\} \times \mathbb R^2\right) \cup C$ où $C$ est le cercle inclus dans le plan $y=0$ centré en $(3/4,0,0)$ de rayon $1/4$. Son image symétrique est $\left(\{1/2\} \times \mathbb R^2\right) \cup C'$ où $C'$ est le cercle inclus dans le plan $y=0$ centré en $(1/4,0,0)$ de rayon $1/4$, et une homotopie de l'un sur l'autre devrait se débrouiller pour faire traverser le plan central au cercle sans le déchirer.

lowley · May 2020

Merci Poirot pour votre réponse.

Je suis un peu embêté par votre réponse. Je m'explique:

paragraphe 1.2.5 du livre :
--> "La notion d'homotopie de 1.2.4 est locale au sens où l'on spécifie une déformation de la tresse plongée, mais pas une déformation de tout l'espace ambiant [0,1]*R². Pour une approche globale, on peut utiliser les homéomorphismes de [0,1]*R². Si b et b' sont deux tresses géométriques, et (sic) comme en 1.2.2, demander l'existence d'un homéomorphisme de [0,1]*R² envoyant b sur b' n'est pas une bonne idée, car on perd l'idée de déformation continue de b en b'.(*)"
Le (*) est le renvoi à la note citée dans ma question dans ce fil du forum.

Pour information, il me semble nécessaire de préciser ce qu'est une tresse (la définition est un peu dure à comprendre sans schéma, je la précise juste après):
---> "Une tresse géométrique à n brins est une réunion b de n arcs de R³, disjoints deux à deux, reliant les n points (0,i,0), 1<=i<=n, aux n points (1,i,0) à l'intérieur de la bande [0,1]*R², et dont l'intersection avec tout plan {x}*R² comprend exactement n points (pas de retour en arrière).
"
En gros une tresse est la réunion de n brins, chaque brin part respectivement de (0,1,0),(0,2,0)...(0,n,0) et arrivent dans un ordre quelconque en (1,1,0),(1,2,0)...(1,n,0), et aucun brin ne peut revenir en arrière.... comme dans une vrais tresse.

Je n'arrive pas trouver d'exemple de tresses b et b' images l'une de l'autre par l'homéomorphisme ci-dessus, telles que l' on ne peut trouver de chemin continu de l'une à l'autre.(est-ce la bonne chose à chercher?)

en voyez-vous?

Poirot · May 2020

Il fallait préciser que tu attendais un contre-exemple à base de tresses directement. ;-)

L'idée c'est que la symétrie peut amener les tresses dans des positions impossibles à atteindre sans rien déchirer. Du coup on fabrique un contre-exemple facilement : on prend deux tresses reliant $(0,0,0)$ à $(1,1,0)$ (tresse 1) et $(0,1,0)$ à $(1,0,0)$ (tresse 2) avec le croisement se produisant dans les $x < 1/2$. Après symétrie, le croisement est dans l'autre sens (si initialement c'est la tresse 1 qui passe au-dessus de la tresse 2, alors après symétrie, c'est la tresse 2 qui passe au dessus de la tresse 1). Et bien sûr on ne peut pas passer de l'une configuration à l'autre par homotopie, car sinon, avec les notations du livre, on aurait $\sigma_1 = \sigma_1^{-1}$.

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