Sous-espace d'un espace polonais

Saturne · May 2020

Bonjour,

Je ne comprends pas le point suivant dans une démonstration à propos des sous-espaces d'un espace polonais $X$.

Supposons que $Y$ est un sous-espace polonais de $X$. Soient $d$ une métrique pour la topologie de $X$ et $d_0$ une métrique complète pour la topologie de $Y$. Pour chaque entier $n \geqslant 1$, soit $V_n$ l'union des ouverts $W$ de $X$ de diamètre au plus $1/n$ pour $d$ et pour lesquels $W \cap Y$ n'est pas vide et a un diamètre plus petit que $1/n$ pour $d_0$. Puisque $d$ et $d_0$ induisent la même topologie sur $Y$, on a $Y \subset \bigcap_n V_n$.

Je ne comprends pas pourquoi $Y \subset \bigcap_n V_n$.

Maxtimax · May 2020

Il faut donc montrer $Y\subset V_n$, c'est-à-dire prouver que pour tout $y\in Y$, il existe une boule de diamètre $\leq 1/n$ pour $d$ dont l'intersection avec $Y$ contient $y$ et est de diamètre $\leq 1/n$ pour $d_0$.

Bon bah je prends $B$ la boule pour $d_0$ de rayon $1/(2n)$ centrée sur $y$; c'est un ouvert de $Y$ donc de la forme $O\cap Y$ avec $O$ ouvert de $X$ contenant $y$. Puisque $O$ est un ouvert de $X$ contenant $y$, je peux trouver $U$ boule ouverte de rayon $\leq 1/(2n)$ contenant $y$ incluse dans $O$.
Bon bah $U$ vérifie les conditions qu'on voulait ($U\cap Y\subset O\cap Y = B$ est de diamètre $\leq 1/n$ pour $d_0$; et $U$ est par définition de diamètre $\leq 1/n $ pour $d$)

Saturne · May 2020

Ah oui fastoche, merci. Faut que je pense à dormir ^^

Sous-espace d'un espace polonais

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