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Exo trivial ?

Envoyé par raoul.S 
Exo trivial ?
il y a six semaines
Voici un exo que j'ai trouvé dans le Godbillon (sans corrigé sad smiley) qui m'a donné du fil à retordre (bon, je ne beigne pas dans ces trucs donc...).
Est-ce que quelqu'un trouve une solution "évidente" qui m'aurait échappée ?

Exercice
Soient $E$ un espace topologique séparé, connexe et $p:E\to [0,1]$ un homéomorphisme local. Si $p$ est surjectif c'est un homéomorphisme.
JLT
Re: Exo trivial ?
il y a six semaines
avatar
En y réfléchissant 2 minutes, voici une idée à vérifier :

1) Soit $a$ tel que $p(a)=0$. Il existe un chemin continu $\varphi:[0,1]\to E$ tel que $\forall t,\; p(\varphi(t))=t$.

2) L'image de $\varphi$ est ouverte fermée donc $\varphi$ est surjective.

3) Comme $\varphi$ est aussi injective, elle est bijective et par compacité c'est un homéomorphisme.
Re: Exo trivial ?
il y a six semaines
Si on prouve que $p$ est un revêtement on gagne puisque $[0,1]$ est simplement connexe (Le Godbillon est un livre de topologie algébrique si je ne m'abuse).

Bon je n'ai pas trouvé, alors voici une autre idée basée sur les faisceaux ($(E,p)$ est un espace étalé sur $[0,1]$).

Si $A$ est une partie de $[0,1]$, une section sur $A$ est une application continue $s$ de $A$ dans $E$ telle que $p \circ s = id_A$.

Etapes suggérées:

1°) Soit $V$ un ouvert.
i) Montrer que toute section sur $V$ est une application ouverte.
ii) Soient $s,t$ deux sections sur $V$, montrer que l'ensemble des $x\in V$ tels que $s(x)=t(x)$ est fermé et ouvert dans $V$. En déduire que si $V$ est connexes, deux sections sur $V$ égales en un point sont égales.

2°)i) Montrer que pour tout $y\in E$ tel que $p(y)=0$ qu'il existe un couple $(W,u)$ tel que $W$ est un ouvert de $[0,1]$ et $u$ une section sur $W$ tels que $W$ est maximal pour l'inclusion.
ii) Avec les notations de i) montrer que si $W\neq [0,1]$, l'image de $u$ est ouverte et son complémentaire aussi. En déduire que $W=[0,1]$ (sinon si $a:=\sup W$, l'un des éléments de $p^{-1}(\{a\})$ est adhérent à l'image de $s$ et certte dernière se prolonge)
iii) conclure avec 1°) i).
Re: Exo trivial ?
il y a six semaines
Bref l'idée de JLT marche (une rédaction plus courte est-elle possible parce que c'est un peu fastidieux pour un "simple" exo ?).
Re: Exo trivial ?
il y a six semaines
Merci à JLT et à Foys.

@JLT tes points 2) et 3) sont ok mais le 1)...

Citation
Foys
Si on prouve que p est un revêtement on gagne...

sauf que l'exo est le premier du chapitre "Revêtements" et ces derniers n'ont pas encore été définis, donc pour Godbillon on devrait pouvoir faire sans.

La solution que j'avais fini par trouver, sans vérifier dans les détails (je ne vais pas les vérifier, j'ai trop peur de trouver un bug moody smiley ) ressemble grosso modo aux étapes suggérées par Foys.

Bon, en tout cas ça confirme que la solution n'était pas évidente. Avec le Godbillon il faut y réfléchir à deux fois avant de se lancer dans un exo...
JLT
Re: Exo trivial ?
il y a six semaines
avatar
Pour mon point 1), je définis une relation $\sim$ sur $E$ de la manière suivante :

$a\sim b$ s'il existe $\varphi:[p(a),p(b)]\to E$ continue telle que $\varphi(p(a))=a$, $\varphi(p(b))=b$, et $p(\varphi(t))=t$ pour tout $t$. On montre que c'est une relation d'équivalence, et que les classes d'équivalence sont ouvertes, donc il y a une seule classe d'équivalence. On conclut en choisissant pour $a$ et $b$ des antécédents de $0$ et $1$.
Re: Exo trivial ?
il y a six semaines
@JLT J'aurais dû y penser... ça simplifie beaucoup. Thx thumbs down
Re: Exo trivial ?
il y a cinq semaines
@JLT: joli!
Re: Exo trivial ?
il y a cinq semaines
Les énoncés où l'hypothèse est "localement ceci" et où on peut prouver "globalement ceci" et où le "ceci" est l'existence d'une FONCTION partielle sont de véritables "tortures intellectuelles" qui pourraient bien faire critiquer le concept de fonctions.

Dans le même genre, j'ai croisé récemment, grâce à Saturne (l'intervenant pas la planète), le "devoir" de prouver qu'on obtient toutes les fonctions boréliennes (ie celle envoyant par image réciproque des ouverts sur des boréliens) à coup de continues en stabilisant par limites simples de suites, j'ai vraiment maudit la notion de fonction grinning smiley

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