Exo trivial ?
Voici un exo que j'ai trouvé dans le Godbillon (sans corrigé :-() qui m'a donné du fil à retordre (bon, je ne beigne pas dans ces trucs donc...).
Est-ce que quelqu'un trouve une solution "évidente" qui m'aurait échappée ?
Exercice
Soient $E$ un espace topologique séparé, connexe et $p:E\to [0,1]$ un homéomorphisme local. Si $p$ est surjectif c'est un homéomorphisme.
Est-ce que quelqu'un trouve une solution "évidente" qui m'aurait échappée ?
Exercice
Soient $E$ un espace topologique séparé, connexe et $p:E\to [0,1]$ un homéomorphisme local. Si $p$ est surjectif c'est un homéomorphisme.
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Réponses
1) Soit $a$ tel que $p(a)=0$. Il existe un chemin continu $\varphi:[0,1]\to E$ tel que $\forall t,\; p(\varphi(t))=t$.
2) L'image de $\varphi$ est ouverte fermée donc $\varphi$ est surjective.
3) Comme $\varphi$ est aussi injective, elle est bijective et par compacité c'est un homéomorphisme.
Bon je n'ai pas trouvé, alors voici une autre idée basée sur les faisceaux ($(E,p)$ est un espace étalé sur $[0,1]$).
Si $A$ est une partie de $[0,1]$, une section sur $A$ est une application continue $s$ de $A$ dans $E$ telle que $p \circ s = id_A$.
Etapes suggérées:
1°) Soit $V$ un ouvert.
i) Montrer que toute section sur $V$ est une application ouverte.
ii) Soient $s,t$ deux sections sur $V$, montrer que l'ensemble des $x\in V$ tels que $s(x)=t(x)$ est fermé et ouvert dans $V$. En déduire que si $V$ est connexes, deux sections sur $V$ égales en un point sont égales.
2°)i) Montrer que pour tout $y\in E$ tel que $p(y)=0$ qu'il existe un couple $(W,u)$ tel que $W$ est un ouvert de $[0,1]$ et $u$ une section sur $W$ tels que $W$ est maximal pour l'inclusion.
ii) Avec les notations de i) montrer que si $W\neq [0,1]$, l'image de $u$ est ouverte et son complémentaire aussi. En déduire que $W=[0,1]$ (sinon si $a:=\sup W$, l'un des éléments de $p^{-1}(\{a\})$ est adhérent à l'image de $s$ et certte dernière se prolonge)
iii) conclure avec 1°) i).
@JLT tes points 2) et 3) sont ok mais le 1)...
sauf que l'exo est le premier du chapitre "Revêtements" et ces derniers n'ont pas encore été définis, donc pour Godbillon on devrait pouvoir faire sans.
La solution que j'avais fini par trouver, sans vérifier dans les détails (je ne vais pas les vérifier, j'ai trop peur de trouver un bug :-? ) ressemble grosso modo aux étapes suggérées par Foys.
Bon, en tout cas ça confirme que la solution n'était pas évidente. Avec le Godbillon il faut y réfléchir à deux fois avant de se lancer dans un exo...
$a\sim b$ s'il existe $\varphi:[p(a),p(b)]\to E$ continue telle que $\varphi(p(a))=a$, $\varphi(p(b))=b$, et $p(\varphi(t))=t$ pour tout $t$. On montre que c'est une relation d'équivalence, et que les classes d'équivalence sont ouvertes, donc il y a une seule classe d'équivalence. On conclut en choisissant pour $a$ et $b$ des antécédents de $0$ et $1$.
Dans le même genre, j'ai croisé récemment, grâce à Saturne (l'intervenant pas la planète), le "devoir" de prouver qu'on obtient toutes les fonctions boréliennes (ie celle envoyant par image réciproque des ouverts sur des boréliens) à coup de continues en stabilisant par limites simples de suites, j'ai vraiment maudit la notion de fonction :-D