Exo trivial ?

Si on prouve que $p$ est un revêtement on gagne puisque $[0,1]$ est simplement connexe (Le Godbillon est un livre de topologie algébrique si je ne m'abuse).

Bon je n'ai pas trouvé, alors voici une autre idée basée sur les faisceaux ($(E,p)$ est un espace étalé sur $[0,1]$).

Si $A$ est une partie de $[0,1]$, une section sur $A$ est une application continue $s$ de $A$ dans $E$ telle que $p \circ s = id_A$.

Etapes suggérées:

1°) Soit $V$ un ouvert.
i) Montrer que toute section sur $V$ est une application ouverte.
ii) Soient $s,t$ deux sections sur $V$, montrer que l'ensemble des $x\in V$ tels que $s(x)=t(x)$ est fermé et ouvert dans $V$. En déduire que si $V$ est connexes, deux sections sur $V$ égales en un point sont égales.

2°)i) Montrer que pour tout $y\in E$ tel que $p(y)=0$ qu'il existe un couple $(W,u)$ tel que $W$ est un ouvert de $[0,1]$ et $u$ une section sur $W$ tels que $W$ est maximal pour l'inclusion.
ii) Avec les notations de i) montrer que si $W\neq [0,1]$, l'image de $u$ est ouverte et son complémentaire aussi. En déduire que $W=[0,1]$ (sinon si $a:=\sup W$, l'un des éléments de $p^{-1}(\{a\})$ est adhérent à l'image de $s$ et certte dernière se prolonge)
iii) conclure avec 1°) i).

Les énoncés où l'hypothèse est "localement ceci" et où on peut prouver "globalement ceci" et où le "ceci" est l'existence d'une FONCTION partielle sont de véritables "tortures intellectuelles" qui pourraient bien faire critiquer le concept de fonctions.

Dans le même genre, j'ai croisé récemment, grâce à Saturne (l'intervenant pas la planète), le "devoir" de prouver qu'on obtient toutes les fonctions boréliennes (ie celle envoyant par image réciproque des ouverts sur des boréliens) à coup de continues en stabilisant par limites simples de suites, j'ai vraiment maudit la notion de fonction :-D