Compactifié d'Alexandrov

topopot
topopot
dans Topologie
Bonjour

La démonstration générale du fait qu'un espace localement compact non compact admette un compactifié d'Alexandrov ne me pose pas de problème mais je bloque sur le calcul d'un truc vraiment basique lorsque j'essaie d'appliquer cela à $\R$.

On note $S=\{z\in\C\mid |z|=1\}$. J'essaie d'abord de montrer que $\R$ est homéomorphe à $S\setminus\{-1\}$. Comme $x\mapsto \dfrac{x}{1+|x|}$ est un homéomorphisme de $\R$ sur $]-1,1[$ (pas de problème pour ça), il suffit de montrer que $f:t\in\, ]-1,1[\,\mapsto e^{i\pi t}\in S\setminus \{-1\}$ est un homéomorphisme, mais je n'arrive pas à déterminer le caractère bijectif. J'ai essayé de trouver $f^{-1}$, en vain, même si sur un dessin ça paraît évident qu'en retirant $-1$ du cercle unité on obtienne un truc homéomorphe à $]-1,1[$.

Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    Qu'est-ce qui te pose problème dans la bijectivité ?
    Sais-tu que tout élément de $S$ s'écrit $e^{i\theta}$ pour au moins un $\theta$ ? Sais-tu à quelle condition $e^{i\theta}= e^{i\alpha}$ ?
  • christophe c
    christophe c
    mais je n'arrive pas à déterminer le caractère bijectif

    Il me semble que le blocage est psychologique: si tu cherches une définition "pas par cas", tu es un intuitionniste naturel et ça va faire très plaisir à Max.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • topopot
    topopot
    Merci pour le retour. Je sais répondre oui à tes deux questions Maxtimax.

    En fait, je me suis mal exprimé, c'est la détermination de $f^{-1}$ qui me pose problème (j'en ai besoin pour justifier sa continuité), pas le fait que $f$ soit bijective.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Est-ce que ça irait mieux pour toi si tu utilisais la bijection de $\R$ sur $S\setminus\{-1\}$ qui consiste à envoyer $x$ sur $\left(\dfrac{1-x^2}{1+x^2},\dfrac{2x}{1+x^2}\right)$ ?

    La bijection réciproque est $(u,v)\mapsto \dfrac{v}{1+u}$
  • topopot
    topopot
    Merci, c'est en effet plus facile.

    Du coup, on a $\R$ homéomorphe à $S\setminus\{(-1,0)\}$ (on va changer de notation et dire que $S$ est vue comme une partie de $\R^2$, ce qui ne change rien).

    Toutefois, je ne suis pas sûr de bien faire le lien avec le théorème d'Alexandrov dont je rappelle l'énoncé :

    Si $E$ est un espace topologique localement compact et non compact, alors il existe un espace topologique $F$ (appelé compactifié d'Alexandrov de $E$ et noté $\mathrm{Al}(E)$) vérifiant :
    • $E\subset F$
    • $F$ est compact
    • La topologie induite par $F$ sur $E$ est la topologie de $E$
    • L'adhérence de $E$ dans $F$ est $F$
    • $|F\setminus E|=1$


    Ici, on a bien $\R$ localement compact et non compact. Que faire de $\mathrm{Al}(\R)$ ?
    Notons $\{\infty\}:=\mathrm{Al}(\R)\setminus \R$.
    J'imagine que $\mathrm{Al}(\R)$ est homéomorphe à $S$ mais je ne sais pas le justifier entièrement.
    En notant $f$ l'homéomorphisme de GaBuZoMeu, on obtient une bijection $F$ de $\mathrm{Al}(\R)$ sur $S$ en envoyant $x$ sur $f(x)$ et $\infty$ sur $(-1,0)$.
    Pourquoi $F$ et $F^{-1}$ sont continues ?
  • christophe c
    christophe c
    De manière plus générale, tu es confronté à un exercice de preuve d'unicité (à homéomorphisme près):

    https://fr.wikipedia.org/wiki/Compactifié_d'Alexandrov#Unicité
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • topopot
    topopot
    Très bien, je reformule ce qu'il y a à montrer et reviens vers vous si je bloque.

    Soient $E$ un espace localement compact et non compact, $F$ un espace compact et $y\in F$.
    Si $E$ est homéomorphe à $F\setminus\{y\}$ alors $\mathrm{Al}(E)$ est homéomorphe à $F$.
  • topopot
    topopot
    Preuve de la proposition bleue d'unicité :

    Par hypothèse, il existe un homéomorphisme $f:E\rightarrow F\setminus\{y\}$.
    On définit l'application $\overline{f}:\mathrm{Al}(E)\rightarrow F$ par $\overline{f}(x)=f(x)$ si $x\neq\infty$ et $\overline{f}(\infty)=y$. Pour montrer que $\overline{f}$ est un homéomorphisme, comme $\mathrm{Al}(E)$ est compact et $F$ séparé, il suffit de montrer que $\overline{f}$ est bijective et continue. L'aspect bijectif étant évident, montrer que $\overline{f}$ est continue.

    Soit $O$ un ouvert de $F$.
    Si $y\notin O$ alors $O$ est un ouvert de $F\setminus\{y\}$ donc $(\overline{f})^{-1}(O)=f^{-1}(O)$ est un ouvert de $E$ car $f$ est continue. Comme la topologie de $\mathrm{Al}(E)$ induite sur $E$ est égale à la topologie de $E$, $(\overline{f})^{-1}(O)$ est donc un ouvert de $\mathrm{Al}(E)$.
    Si $y\in O$, posons $A:=F\setminus O$ qui est un fermé du compact $F$, donc compact de $F$. De plus, $y\notin A$.
    D'où $(\overline{f})^{-1}(O)=(\overline{f})^{-1}(F\setminus A)=(\overline{f})^{-1}(F)\setminus (\overline{f})^{-1}(A)=\mathrm{Al}(E)\setminus f^{-1}(A)$ qui est ouvert dans $\mathrm{Al}(E)$ car $f^{-1}(A)$ fermé car compact car $A$ compact et $f^{-1}$ continue (et $\mathrm{Al}(E)$ séparé).
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 5

5 Invités