Intérieur d'un compact de $\R^n$

don_juanes2
don_juanes2
dans Topologie
Bonjour
Svp j'aimerais bien savoir la définition d'un compact d'intérieur non vide plongé dans Rn.
J'ai demandé à un ami et voilà la définition qu'il ma donnée.
Si K est un compact d'intérieur non vide alors il existe B'(a,r) inclus dans K avec r>0. Mais je ne comprends pas pourquoi la boule [est] fermée ? Si cette def coïncide avec la def de l'intérieur je suppose que la boule doit être ouverte non ?
Cordialement.

Réponses

  • Homo Topi
    Homo Topi
    L'intérieur est un ouvert, donc par définition, il doit contenir une boule ouverte, de rayon strictement positif. Tu peux prendre une boule fermée centrée au même point mais de rayon strictement inférieur, non ?
  • don_juanes2
    don_juanes2
    Oui normalement si on prend une boule fermée le rayon doit strictement inférieure ; mais dans la définition que j'ai vue le rayon était strictement supérieur.
    Sinon, y a une idée qui me vient (je ne l'ai pas encore prouvée).
    S'il existe une boule ouverte alors il existe une boule fermée i.e la définition de l'intérieur est valable à n'importe quel boule.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Quel est le problème ? Si un ouvert $U$ contient la boule ouverte $B(x,r)$ avec $r > 0$, alors $U$ contient la boule fermée $\overline{B}\Big(x, \dfrac{r}{2} \Big)$ :-S
  • don_juanes2
    don_juanes2
    Ca marche j'ai bien compris, merci pour votre réponse.
  • christophe c
    christophe c
    Il est aussi vrai que si $K$ compact et $BouleOuverte(centre:=a,rayon:=r)$ est inclus dedans, alors il en va de même pour
    la $BouleFermee(centre:=a,rayon:=r)$

    C'est confus dans ta demande, mais il est possible que tu voulais confirmation de ça.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • don_juanes2
    don_juanes2
    Oui je voulais savoir est-ce le rayon peut rester le même.
    Cette notion d'équivalences des boules vient du fait que dimension est finie non ?
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Si ton compact est d'intérieur non vide, il contient une boule ouverte. L'adhérence de cette boule ouverte est le plus petit fermé qui la contient : c'est la même boule, mais fermée. Mais ton compact est un fermé qui contient la boule ouverte, donc l'adhérence de la boule fermée est incluse dans le compact.
  • don_juanes2
    don_juanes2
    Ca marche, merci (tu)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 34

AlegBen314159BibixJLTLirone93Matricule_63Rescassolcadiougerard0igrec27jelobreuil +23 Invités