Convergence dans un sous-espace
Bonjour,
J'ai démontré (facilement) l'affirmation suivante. Soient $X$ un espace topologique et $A \subset X$. Soient $(x_\lambda)$ un filet dans $A$ et $x \in A$. Alors $(x_\lambda)$ converge vers $x$ dans $A$ (pour la topologie induite) si et seulement si $(x_\lambda)$ converge vers $x$ dans $X$.
Or, ça me paraît bizarre. Est-ce correct ?
J'ai démontré (facilement) l'affirmation suivante. Soient $X$ un espace topologique et $A \subset X$. Soient $(x_\lambda)$ un filet dans $A$ et $x \in A$. Alors $(x_\lambda)$ converge vers $x$ dans $A$ (pour la topologie induite) si et seulement si $(x_\lambda)$ converge vers $x$ dans $X$.
Or, ça me paraît bizarre. Est-ce correct ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Simple curiosité : C'est quoi un filet ?
Cordialement.
C'est tout à fait raisonnable et plus ou moins exactement ce qu'on espère obtenir.
On ne veut pas que la phrase "$(x_\lambda)$ converge vers $x$" dépende du sous-espace dans laquelle on l'interprète !
PS. (:P)
J'attends maintenant la réponse de Saturne, ça fait 2 messages où il emploie ce mot.
Cordialement.
Il s'agit probablement de suites généralisées: https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_généralisée
En anglais, elles sont appelées "nets", qui peut se traduire en "filet".
Oui d'ailleurs on traduit bien "net" par "filet" ?
@gerard0: Les filets généralisent les suites. Ils permettent de définir une notion de convergence plus générale, et avec cette notion on peut caractériser la continuité d'une application $f$ entre espaces topologiques généraux par "$f$ de la limite d'un filet $=$ limite de $f$ du filet". Les suites ne suffisent pas pour les espaces topologiques généraux.
Moi non plus je n'ai pas vu les filets lors de mes études. C'est pourtant bien pratique et pas trop compliqué.
Les suites caractérisent la continuité dans les espaces métriques : c'est essentiellement parce que les espaces métriques ont des bases dénombrables de voisinages.
Maintenant je me donne $E$ et $F$ deux espaces topologiques et une fonction $f : E \longrightarrow F$. Je note $\kappa$ le minimum des cardinaux de toutes les bases de voisinages dans $E$, et $\lambda$ le cardinal analogue dans $F$. Alors est-ce qu'on a (ça me semblerait moral) $f$ continue si et seulement si pour tout $x \in E$ et tout filet $(x_{\alpha})_{\alpha \in I}$ tels que $|I| \geq \max(\lambda, \kappa)$ on a $\lim_{\alpha} f(x_{\alpha}) = f(x)$ ?
On considère une base de voisinages $B$ de $x$ de cardinal au plus $\kappa$. Alors $(x_U)_{U\in B}$ est un filet qui converge vers $x$, dont l'image par $f$ ne converge pas vers $f(x)$.
Poirot : en principe oui, mais attention, on ne peut pas supposer $I$ bien, ni même totalement ordonné en général il me semble. Je n'ai plus l'exemple en tête mais je l'avais vu passer.
Par ailleurs attention, ta borne cardinale n'est pas la bonne : il faudrait plutôt mettre $\leq$ (ta condition implique que ça marche pour tout filet, puisque pour tout filet je peux lui rajouter un "début" qui ne change rien à la convergence)
Pour le "en principe oui" - je remplace $\max (\lambda, \kappa)$ par $\kappa |E|$: un sens est évident. Dans l'autre sens, soit une telle $f$ et soit $x\in E$ (on veut montrer la continuité en $x$). Soit $U$ un voisinage de $f(x)$.
Soit $I=\{(y,V) \mid V$ voisinage de $x$ et $y\in V \}$, préordonné par l'inclusion "selon $V$".
Soit de plus le filet défini sur $I$ par $(y,V) \mapsto y$. Alors très clairement ce filet converge vers $x$.
De plus, $|I| \leq \kappa |E|$, en remplaçant "voisinage" par "membre d'une base de voisinage suffisamment petite"
Donc son image par $f$ converge vers $f(x)$, et c'est fini.
Si on s'autorise l'axiome du choix, on peut passer de $\kappa |E|$ à $\kappa$, comme l'a montré JLT.
Ces mots n'ont d'ailleurs même pas besoin d'être définis d'ailleurs pour montrer le schéma langagier:
$F$ a comme limite $x$ quand tout ouvert contenant $x$ est un élément de $F$.
"$f(x)$ tend vers $b$ quand $x$ tend vers $a$" se dit "tout filtre $F$ de limite $a$ est tel que $f<F>$ est de limite $b$."
A noter qu'à la différence des applications qu'on essaie de forcer d'être + ou - canoniques allant de $P(E)$ dans $P(F)$ à partir de $g$ allant de $E$ dans $F$, la notion de filtre sur $X$ a la même polarité que la notion "être un élément de $X$, donc ne pose pas de problème.
Quand la polarité s'inverse, faut échanger (par exemple $E\to F$ va générer des canoniques dans $P(F)\to ¨P(E)$, mais pas dans $P(E)\to P(F)$). On peut "remercier le ciel" de ImageDirecte, mails il est bien connu que ç ase paie ("en moyenne" l'image directe de $A$ par $f$ est complexité strictement plus grande que celle de $A$).
Dans le cas des objets $X$ de type filtres, si $f: (E\to F)$, on aura des notions genre $f< X > := [\phi \mapsto X(\phi\circ f) ] $ par exemple.