Théorème d'Ascoli

don_juanes2
don_juanes2
dans Topologie
Bonjour
Svp j'ai rencontré un problème dans la 1ère question de l'exercice.

Si l'ensemble A est < oo, je pense que c'est direct : posons A={ a_1,...,a_n } ( nombre <oo de points) on a alors : la suite f_n(a_1) est bornée (d'après l'hypothèse) ; Bolzano-Weierstrass nous assure l'existence de l'extractrice : (f_phi1(n)(a_1)) ---> L_1 € R
On extrait encore de la suite (f_phi1(n)(a_2)) (puisqu'elle est bornée) une suite CV : (f_phi1 o phi2(n) (a_2)) ---> L_2 € R (dès que le n est assez grand) donc quitte à réitéré ce procédé on peut bien construire par récurrence des extractions phi tq :
f_phi1o...o phi_n (a_i) ---> L_i dès que le n est assez grand.
D'où la CVS

Maintenant ma question est dans le deuxième cas : A est dénombrable comment pourrais-je construire des extractions de la fonction (f_n) ; qui est bien bornée sur A.
Cordialement.103894

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    C'est le même principe, mais il faut rajouter un "degré diagonal" pour que l'extractrice soit la même pour tout le monde. Tu construis tes extractrices par récurrence et tu poses pour tout $k \in \mathbb N$, $\psi(k) = \varphi_1 \circ \dots \circ \varphi_k(k)$. À toi de vérifier que la suite $(\psi(k))_k$ est bien une extractrice et de vérifier qu'elle donne le résultat.
  • don_juanes2
    don_juanes2
    Bonjour ;
    Que voulez-vous dire avec " un degré diagonal " ?
  • Poirot
    Poirot
    Bah c'est ce que j'ai détaillé en-dessous, je t'ai donné l'extractrice ! En plus de composer toutes tes extractrices, on évalue la $k$-ième composée en $k$.
  • christophe c
    christophe c
    C'est un truc général, dommage que la restrictions aux métriques cache peut-être un peu la généralité. En ANS (peu importe ce que ça singifie pour l'instant), le contenu de cette réalité est très simple, je te la copie, mais si tu ne connais pas l'ANS n'accorde comme importance à mon post que la même que si je te disais "cette musique adoucissante va t'aider à réfléchir".

    J'ai une fonction $f$. Pour un élément standard $a$, j'ai $g(a)$ standard superproche de $f(a)$. Ca c'est le côté "Tychonov" dans l'esprit (et dans le corps d'ailleurs). Convergence simple ici traduite en
    $f$ est superproche de $g$

    au sens CV simple.

    Mézalor, si EN PLUSS tu supposes l'équicontinuité, tu as:

    $$ f(x) ==_1 f(a) == g(a) ==g(x)$$

    et SEUL (1) est "complètement délirant" au sens om il est BRUTALEMENT SUPPOSE avec l'équicontinuité.

    Mais in fine, tu as $f(x)==g(x)$ sans rien supposer sur $x$, ie $f$ et $g$ superproches au sens CV UNIFORME.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • don_juanes2
    don_juanes2
    Poirot merci pour votre explication.
    christophe c ; donc ce qu'on peut dire comme résultat est que : CVS + equicontinuite --> CVU
  • christophe c
    christophe c
    Exactement (sous-compacité espace départ) !
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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