Théorème d'Ascoli
dans Topologie
Bonjour
Svp j'ai rencontré un problème dans la 1ère question de l'exercice.
Si l'ensemble A est < oo, je pense que c'est direct : posons A={ a_1,...,a_n } ( nombre <oo de points) on a alors : la suite f_n(a_1) est bornée (d'après l'hypothèse) ; Bolzano-Weierstrass nous assure l'existence de l'extractrice : (f_phi1(n)(a_1)) ---> L_1 € R
On extrait encore de la suite (f_phi1(n)(a_2)) (puisqu'elle est bornée) une suite CV : (f_phi1 o phi2(n) (a_2)) ---> L_2 € R (dès que le n est assez grand) donc quitte à réitéré ce procédé on peut bien construire par récurrence des extractions phi tq :
f_phi1o...o phi_n (a_i) ---> L_i dès que le n est assez grand.
D'où la CVS
Maintenant ma question est dans le deuxième cas : A est dénombrable comment pourrais-je construire des extractions de la fonction (f_n) ; qui est bien bornée sur A.
Cordialement.
Svp j'ai rencontré un problème dans la 1ère question de l'exercice.
Si l'ensemble A est < oo, je pense que c'est direct : posons A={ a_1,...,a_n } ( nombre <oo de points) on a alors : la suite f_n(a_1) est bornée (d'après l'hypothèse) ; Bolzano-Weierstrass nous assure l'existence de l'extractrice : (f_phi1(n)(a_1)) ---> L_1 € R
On extrait encore de la suite (f_phi1(n)(a_2)) (puisqu'elle est bornée) une suite CV : (f_phi1 o phi2(n) (a_2)) ---> L_2 € R (dès que le n est assez grand) donc quitte à réitéré ce procédé on peut bien construire par récurrence des extractions phi tq :
f_phi1o...o phi_n (a_i) ---> L_i dès que le n est assez grand.
D'où la CVS
Maintenant ma question est dans le deuxième cas : A est dénombrable comment pourrais-je construire des extractions de la fonction (f_n) ; qui est bien bornée sur A.
Cordialement.
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Réponses
Que voulez-vous dire avec " un degré diagonal " ?
J'ai une fonction $f$. Pour un élément standard $a$, j'ai $g(a)$ standard superproche de $f(a)$. Ca c'est le côté "Tychonov" dans l'esprit (et dans le corps d'ailleurs). Convergence simple ici traduite en
au sens CV simple.
Mézalor, si EN PLUSS tu supposes l'équicontinuité, tu as:
$$ f(x) ==_1 f(a) == g(a) ==g(x)$$
et SEUL (1) est "complètement délirant" au sens om il est BRUTALEMENT SUPPOSE avec l'équicontinuité.
Mais in fine, tu as $f(x)==g(x)$ sans rien supposer sur $x$, ie $f$ et $g$ superproches au sens CV UNIFORME.
christophe c ; donc ce qu'on peut dire comme résultat est que : CVS + equicontinuite --> CVU