La topologie sur $E^E$
dans Topologie
Dans ce fil, je vais poser une série de questions autour de la topologie canonique suivante, mise sur $E^E$.
Soit $T$ une topologie sur $E$ alors, je note $\phi(T)$ l'ensemble des applications continues de $E\to E$.
Soit $L:=\{X\subset E^E \mid \exists T\in TopologiesSur(E) : X = E^E\setminus \phi(T)\}$.
Je note $TheTop(E)$ la topologie sur $E^E$ engendrée par $L$.
Commençons avec $\R$, et je note $Y:=\R^\R$: soit $A$ l'ensemble des application affines de $\R\to \R$.
Est-ce que l'adhérence (selon $TheTop(\R)$) est l'ensemble des polynpômes (fonctions polynomiales sur $\R$)?
Soit $T$ une topologie sur $E$ alors, je note $\phi(T)$ l'ensemble des applications continues de $E\to E$.
Soit $L:=\{X\subset E^E \mid \exists T\in TopologiesSur(E) : X = E^E\setminus \phi(T)\}$.
Je note $TheTop(E)$ la topologie sur $E^E$ engendrée par $L$.
Commençons avec $\R$, et je note $Y:=\R^\R$: soit $A$ l'ensemble des application affines de $\R\to \R$.
Est-ce que l'adhérence (selon $TheTop(\R)$) est l'ensemble des polynpômes (fonctions polynomiales sur $\R$)?
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Réponses
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Bonjour !
Ça me parait compromis : on prend la topologie dont les fermés sont les unions finies des (images des) suites arithmétiques indexées par $\mathbb{Z}$. Les fonctions affines sont alors continues.
Mais si on prend une fonction polynomiale non affine $f$, pour $x$ assez grand, $x\mapsto f(x)$ est strictement convexe et croissante ou strictement concave et décroissante. Donc la distance entre deux éléments successifs de $f^{-1}(\mathbb{Z})$ tendra vers $0$, donc cet ensemble ne peut pas être fermé pour notre topologie.
Donc sauf erreur l'adhérence de $A$ ne contient aucun polynôme qui ne soit pas déjà dans $A$. -
Bravo et merci!Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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L'avantage des copiés-collé pour modifier une question en reprenant toutes les définitions:
Soit $T$ une topologie sur $E$, qui est UNIFORMISABLE ET SEPAREE. (U et S)
Je note $\phi(T)$ l'ensemble des applications continues de $E\to E$.
Soit $L:=\{X\subset E^E \mid \exists T\in TopologiesUetSSur(E) : X = E^E\setminus \phi(T)\}$.
Je note $TheTopUS(E)$ la topologie sur $E^E$ engendrée par $L$.
Commençons avec $\R$, et je note $Y:=\R^\R$: soit $A$ l'ensemble des application affines de $\R\to \R$.
Est-ce que l'adhérence (selon $TheTop(\R)$) est l'ensemble des polynômes (fonctions polynomiales sur $\R$)?Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Bonjour!
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