Définition de la densité

Saturne · June 2020

Bonjour,

Sur Wikipedia, la densité est définie comme suit. Un sous-ensemble $A$ d'un espace topologique $X$ est dense dans $X$ si pour tout $x \in X$, tout voisinage ouvert de $x$ contient au moins un point de $A$.

Y a-t-il un intérêt à prendre cette définition plutôt que de dire $O \cap A \neq \varnothing$ pour tout ouvert $O$ non vide ? Ceci me paraît plus clair. Le $x$ de la définition de la Wikipedia me semble encombrant.

gerard0 · June 2020

Bonjour.

Comme l'équivalence entre la définition de Wikipédia et la tienne rectifiée ("pour tout ouvert $O$ de $X$") est immédiate, ce n'est qu'une question de façon d'amener l'idée. Celle avec $x$ correspond plus à l'intuition de la densité ("on peut approcher tous les éléments de $X$ par des éléments de $A$), donc est intéressante pour celui qui découvre. La tienne est peut-être plus efficace, mais comme je l'ai peu utilisée, je ne sais pas.
En quoi ce $x$ (qu'on peut ne pas citer) est-il "encombrant" ?

Cordialement.