Recouvrement de $[0,1[$
Bonjour,
Il s'agit de la question 2. de l'exercice suivant sur laquelle je bloque.
L'indication est relative à un exercice qui construit et donne certaines propriétés de l'ensemble de Cantor $K$, mais je ne vois pas le lien.
On suppose qu'il existe une famille $(F_n)_{n\in\N}$ d'intervalles fermés de $\R$ et deux à deux disjoints tels que $[0,1[=\cup_{n\in\N}F_n$.
Si on note $\lambda$ la mesure de Lebesgue sur $\R$, on a pas $\sigma$-additivité $\sum_{n\in\N}\lambda (F_n)=1$.
Il s'agit de la question 2. de l'exercice suivant sur laquelle je bloque.
L'indication est relative à un exercice qui construit et donne certaines propriétés de l'ensemble de Cantor $K$, mais je ne vois pas le lien.
On suppose qu'il existe une famille $(F_n)_{n\in\N}$ d'intervalles fermés de $\R$ et deux à deux disjoints tels que $[0,1[=\cup_{n\in\N}F_n$.
Si on note $\lambda$ la mesure de Lebesgue sur $\R$, on a pas $\sigma$-additivité $\sum_{n\in\N}\lambda (F_n)=1$.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Personnellement, l'ex 5.1.2 étant un grand classique corrigé dans au moins 20 ou 30 fils du forum dont 5-10 fois par moi, je n'y reviens pas (ça peut t’entraîner à googler de chercher à googler), mais dans mon souvenir, je ne suis jamais passé par la mesure de Lebesgue pour l'abattre :-S
Je n'ai bien sûr pas le temps (je me suis téléporté à la campagne pour rédiger un rapport long) mais comme l'auteur parle de l'ex 4.4, il me semble utile de publier sur le forum la photo du 4.4 pour commencer.
Ici j'utilise le mot trivial de façon inhabituelle dans le sens "3 lignes suffisantes pour prouver" (mais les trouver peut nécessiter de l'inspiration).