Recouvrement de $[0,1[$
Bonjour,
Il s'agit de la question 2. de l'exercice suivant sur laquelle je bloque.
L'indication est relative à un exercice qui construit et donne certaines propriétés de l'ensemble de Cantor $K$, mais je ne vois pas le lien.
On suppose qu'il existe une famille $(F_n)_{n\in\N}$ d'intervalles fermés de $\R$ et deux à deux disjoints tels que $[0,1[=\cup_{n\in\N}F_n$.
Si on note $\lambda$ la mesure de Lebesgue sur $\R$, on a pas $\sigma$-additivité $\sum_{n\in\N}\lambda (F_n)=1$.
Il s'agit de la question 2. de l'exercice suivant sur laquelle je bloque.
L'indication est relative à un exercice qui construit et donne certaines propriétés de l'ensemble de Cantor $K$, mais je ne vois pas le lien.
On suppose qu'il existe une famille $(F_n)_{n\in\N}$ d'intervalles fermés de $\R$ et deux à deux disjoints tels que $[0,1[=\cup_{n\in\N}F_n$.
Si on note $\lambda$ la mesure de Lebesgue sur $\R$, on a pas $\sigma$-additivité $\sum_{n\in\N}\lambda (F_n)=1$.
Réponses
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Pour un preuve directe avec l'ensemble de Cantor je ne vois pas mais étant donné une famille dénombrable $(I_n)_{n\in \mathbb{N}}$ de segments fermés disjoints dans $[0,1[$, tu peux essayer de construire une suite décroissante de segments fermés $(J_n)_{n\in \mathbb{N}}$ tel que $J_n$ est inclus dans le complémentaire de $\bigcup_{k\leqslant n} I_k$ pour tout $n\geqslant 0$.
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Quand un auteur prétend qu'une propriété est puissante et cette puissance illustrée par une conséquence, la conséquence devrait en principe être trivialement obtenue.
Personnellement, l'ex 5.1.2 étant un grand classique corrigé dans au moins 20 ou 30 fils du forum dont 5-10 fois par moi, je n'y reviens pas (ça peut t’entraîner à googler de chercher à googler), mais dans mon souvenir, je ne suis jamais passé par la mesure de Lebesgue pour l'abattre :-S
Je n'ai bien sûr pas le temps (je me suis téléporté à la campagne pour rédiger un rapport long) mais comme l'auteur parle de l'ex 4.4, il me semble utile de publier sur le forum la photo du 4.4 pour commencer.
Ici j'utilise le mot trivial de façon inhabituelle dans le sens "3 lignes suffisantes pour prouver" (mais les trouver peut nécessiter de l'inspiration).Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Bonjour!
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