Matrices à valeurs propres distinctes connexe

Soient $n \in \N$ et $P\in \C[X_1,...,X_n]$ un polynôme complexe. Montrons que le complémentaire $U$ de l'ensemble des zéros de $P$ est connexe par arcs.

Soient $a,b \in \C^n$ tels que $P(a)$ et $P(b)$ ne sont pas nuls. Soit $g:x\in \C \mapsto P\left (za+ (1-z)b \right)$. Alors $g$ est polynomiale.

-Si $g$ est constante alors $t \in [0,1]\mapsto ta+(1-t)b$ est un chemin continu reliant $a$ à $b$ dans $U$
-Si $g$ est non constante elle n'a qu'un nombre fini de zéros dont $0$ et $1$ ne font pas partie. On conclut en sachant que le complémentaire dans $\C$ d'un ensemble fini est connexe par arcs (facile mais au concours on peut le demander peut-être... si $a,b$ sont dans ledit complémentaire, il n'y a qu'un nombre fini de droites qui passent par $a$ et un point de l'ensemble fini en question ou $b$ et un point dudit l'ensemble fini, on peut donc trouver des droites non paralèles passant par $a$ et $b$).

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Pour résoudre la question du fil avec ça, considérer la fonction (polynomiale) qui à une matrice $M$ fait correspondre le discriminant de $det(M-XI_n)$.

$\newcommand{\diag}{\mathrm{diag\,}}$Une telle matrice est diagonalisable. Il te suffit alors, par connexité de $GL_n(\C)$, de trouver un chemin continu entre $\diag(\lambda_1,\ldots, \lambda_n)$ et $\diag(1,\ldots,n)$.

Tu peux procéder par récurrence sur $n$ pour prouver qu'on peut les relier (si tu sais faire au rang $n$, pour rajouter un point, pousse le très loin, fais bouger les $n$ points, puis ramène le $n+1$-ème point au bon endroit par exemple)