Parties homéomorphes ?

Cherche du côté des applications linéaires (image du premier vecteur de la base canonique, puis image du deuxième vecteur de la base canonique).

PS. Je parle de la question 2.

Je ne voyais plus la discussion, je me suis dit qu’on l’avait sûrement déplacée ici.
raoul.s, ah benh oui, avec les messages qui précèdent, c’est plus cohérent. Excuse-moi.

Théorème a écrit:

Soit $K$ un compact, $f$ une application continue bijective de $K$ dans $F$. Alors $f$ est un homéomorphisme.

Avez vous un contre exemple dans le cas où $K$ n'est pas compact ?

J'ai un contre-exemple on prend
$$
I : f \in C^{0}([0;1], \mathbb{R}), N_{\infty} \rightarrow C^{0}([0;1], \mathbb{R}), N_{1},
$$ avec $
N_{1}(f) = \int_{0}^{1} |f|.
$ L'[in]égalité $$
\ N_{1}(I(f)) \le N_{\infty}(f)\
$$ permet de voir que $I$ est continue car elle est linéaire.

L'application réciproque n'est pas continue, il suffit de montrer qu'il existe $f_{n}$ continues non nulles tel que ${ N_{\infty}(f_{n}) \over N_{1}(f_{n}) } \xrightarrow[n \rightarrow + \infty]{}+ \infty$. Et on prend la suite de fonctions affine par morceaux $f_{n} (x) = \mathbb{1}_{[0; {1 \over n}]} (x) (-n^{2} x + n).$
Pour réellement montrer que c'est un contre-exemple il faut montrer que $C^{0}([0;1], \mathbb{R}), N_{\infty} $ n'est pas compact.

Bonjour Calli merci pour votre réponse. Comment calculer $f^{-1}$ dans votre exemple ?

Justement vous me proposez d'utiliser un théorème, dont je suis en train de tester les hypothèses, pour tester les hypothèses.

La fonction argument, d'accord. J'avoue ne pas trop voir la preuve de non continuité de la réciproque sur de votre exemple.

Oui c'est vrai que je vois que l'argument n'est pas continue en $0$ parce que en arrivant vers 0 dans le sens horaire il vaut $0$ et dans le sens antihoraire $2\pi$.

Du coup on prend $y_{n} = \exp(2i \pi (1 - {1 \over n }) )$ qui converge vers le complexe $1 \in \mathbb{S}^{1} $. Mais $f^{-1}(y_{n})$ converge vers $2\pi$ or $f^{-1}(1) = 0$.

Là où je bloque plus c'est sûr montrer que $f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = Id $. En regardant $f$ de plus près on peut montrer que $f$ est bijective d'où l'existence de $f^{-1}$ sauf que ici ce n'est pas ce qu'on fait. On dit que $f^{-1}$ est l'argument. Ca veut dire que déjà il faut le définir puis montrer que c'est bien l'inverse. C'est plus délicat, cela vient peut être du fait que je n'ai pas d'expression analytique pour l'argument mais est-ce vraiment indispensable pour un argument formalisé. (Sans jeu de mot :)o ).

J'ai une preuve ! Au début j'ai essayé le théorème d'inversion locale puis comme je voyais pas comment le faire marcher ici, je suis reparti sur la définition et un petit travail donne le résultat.
Soit $z,z' \in \mathbb{S}^{1}$ qu'on peut écrire $\exp(2i\pi x), \exp(2i\pi x')$ alors on peut factoriser par le milieu du segment formé par les arguments des exponentielles
$$
|z-z'| = | \exp(i \pi (x-x')) - \exp(-i \pi (x-x')) | = 2 | \sin(\pi(x-x'))|
$$
La fin de la preuve consiste à choisir le bon $\eta$ pour que $|z-z'| \le \eta \Rightarrow |x-x'| \le \epsilon $. Alors ... que peut on prendre

Tu peux supposer que $|x-x'|\le\frac\pi2$ et alors on a un double encadrement commode qui pourrait t'aider pour montrer la bicontinuité : $\frac{2}{\pi}u\le\sin u\le u$ pour $u\in\bigl[0,\frac\pi2\bigr]$.