Connexe

L'application det étant continue, si l'image de O(1,1) par det est {-1,1}, on en déduit que O(1,1) possède au moins deux composantes connexes.. en tout cas on a une partition de O(1,1) en deux O(1,1)-fermés stricts non vides..
Reste à voir que l'image de de O(1,1) par det est {-1,1}, en trouvant deux éléments qui vont bien

Bonjour,

A quoi sert la connexité en mathématiques appliquées ?

Remarque : $E$ n'est pas réduit à un point.

A quoi sert la connexité? Par exemple le théorème des valeurs intermédiaires pour les fonctions continues.
Un train part de la ville A à 14h et arrive à la ville B à 16 heures.
Le lendemain il part de B à 14h et arrive à A à 16 heures.
Alors quelle que soit son allure il y a un endroit de la voie où il arrive exactement au même moment
On appelle cela un point fixe et c'est la connexité qui prouve qu'un point fixe existe toujours dans ce cas.
On se sert de théorèmes de points fixes pour montrer que certaines classes de problèmes ont des solutions, mais cela ne dit pas comment sont les solutions (ça c'est encore plus difficile et c'est pourquoi on utilise des ordinateurs pour calculer les profilages des véhicules pour les rendre aérodynamiques et qu'il reste des progrès énormes à faire parce que les solutions proposées ne sont pas les meilleures même avec des ordinateurs puissants)

Le lemme de passage des douanes, l'unicité dans le théorème de Cauchy-Lipschitz...

Une application que je développais à l'agreg : la "méthode de congélation des coefficients" pour résoudre un EDO linéaire d'ordre $2$ à coefficients non constant. Je n'ai plus l'énoncé exact en tête, mais c'est fait dans le Gonnord et Tosel de calcul différentiel, et ça faisait une joli application de la connexité. De mémoire, on avait affaire à une EDO de la forme $y''+ay'+by=f$ avec $a,b$ et $c$ continue (et une condition de positivité sur $a$ ou $b$), on se sert de l'existence d'une solution en remplaçant $a$ et $b$ par $a(0)$ et $b(0)$ pour établir l'existence d'un solution de notre équation de départ. La clé est un lemme sur l'inversibilité d'un opérateur dépendant d'un paramètre $t \in [0, 1]$ uniquement à partir de l'inversibilité pour $t=0$, via un argument de connexité.

J'ai du mal à trouver quelque chose qui en parle sur internet malheureusement, et je n'ai pas accès à mon Gonnord et Tosel ici.

Je crois là que les maths ne sont pas appliquées.

Figurez vous que je suis en train de la découvrir :)o