Sections continues
dans Topologie
Coucou,
j'ai juste une petite question, comme ça. Je n'arrive pas à trouver de contre-exemple, après cinq minutes de réflexion.
Soit $X$ un espace compact, et $F$ un fermé de $X \times X$ tel que pour tout $x \in X$, il existe $y \in X$ tel que $(x,y) \in F$. Est-ce qu'il existe toujours une fonction continue $f : X \rightarrow X \times X$ telle que pour tout $x \in X$, $(x,f(x)) \in F$ ?
j'ai juste une petite question, comme ça. Je n'arrive pas à trouver de contre-exemple, après cinq minutes de réflexion.
Soit $X$ un espace compact, et $F$ un fermé de $X \times X$ tel que pour tout $x \in X$, il existe $y \in X$ tel que $(x,y) \in F$. Est-ce qu'il existe toujours une fonction continue $f : X \rightarrow X \times X$ telle que pour tout $x \in X$, $(x,f(x)) \in F$ ?
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Réponses
La réponse est non. Exemple : X = [0,1] et F = [0,1/2]×{0} U [1/2,1]×{1}.
Il vérifie clairement la première condition. De plus, il est fermé dans $X\times X$. Pour autant, une section continue de $F\to X$ est nécessairement $x\mapsto (x,1/x)$, qui n'est pas continue.
En fait, plus généralement, si tu prends un espace compact $X$, un point d'accumulation $x\in X$, et $f: X\setminus\{x\}\to X$ qui n'a pas de limite en $x$, et que tu la prolonges (pas par continuité du coup) à $X$, ça devrait donner un exemple.
(NB: Une fonction vers un compact est continue ssi son graphe est fermé.)
Mais je crois que ça change rien : je peux rajouter $(0,+\infty)$ et $(0,-\infty)$ et je crois que là c'est fermé, mais tu auras quand même du mal à trouver une section continue si je ne m'abuse