Sections continues

Salut,
La réponse est non. Exemple : X = [0,1] et F = [0,1/2]×{0} U [1/2,1]×{1}.

Soit $X= \overline\R$, et $F\subset X\times X$ le graphe de $x\mapsto 1/x$, avec $\frac{1}{\pm \infty} := 0$ et par convention (idiote, certes, mais je m'en fiche) $1/0 := 0$.

Il vérifie clairement la première condition. De plus, il est fermé dans $X\times X$. Pour autant, une section continue de $F\to X$ est nécessairement $x\mapsto (x,1/x)$, qui n'est pas continue.

En fait, plus généralement, si tu prends un espace compact $X$, un point d'accumulation $x\in X$, et $f: X\setminus\{x\}\to X$ qui n'a pas de limite en $x$, et que tu la prolonges (pas par continuité du coup) à $X$, ça devrait donner un exemple.

Ah oui, j'ai comptabilisé $+\infty$ que dans le domaine, et pas dans le codomaine :-D
Mais je crois que ça change rien : je peux rajouter $(0,+\infty)$ et $(0,-\infty)$ et je crois que là c'est fermé, mais tu auras quand même du mal à trouver une section continue si je ne m'abuse

C'est faux aussi en supposant $F$ connexe. Exemple semblable à celui de Calli: $X=[0,1]$ et $F=[0,1/2]\times \{0\} \cup \{1/2\}\times [0,1] \cup [1/2,1] \times \{1\}$