Graphe de $x\mapsto\sin\frac{1}{x}$

L'ensemble des valeurs d'adhérence de $(\sin n)$ est $[-1,1]$, ce qui est assez difficile à montrer.

Pour l'autre inclusion, il suffit de montrer que $(\{0\}\times [-1,1])\cup\Gamma$ est fermé.

Pour l'autre inclusion il suffit de voir que ton $x$ doit tendre vers $0$ si tu ne restes pas dans $\Gamma$, et que donc tu arrives au bon endroit.
Après, tu appliques ce qu'a dit gai requin (sur la fermeture, pas sur $\sin(n)$ : ça c'est pour l'autre inclusion, qui est pour moi de loin la plus difficile)

Salut Calli,

Ton $\Bbb R_+\times[-1,1]$ est beaucoup trop gros.
Et la projection de $\Gamma$ sur $(Ox)$ est $]0,1]$.

@Calli : Dans ton premier message, je ne voyais pas la bonne première inclusion mais elle y est dans ton deuxième message. ;-)

@topopot : $\overline\Gamma=\big(\overline\Gamma\cap (]0,1]\times [-1,1])\big)\cup\big(\overline\Gamma\cap (\{0\}\times [-1,1])\big)$

Comme $\overline{\Gamma}\subset [0,1]\times [-1,1]$, on a $\overline\Gamma=\big(\overline\Gamma\cap (]0,1]\times [-1,1])\big)\cup\big(\overline\Gamma\cap (\{0\}\times [-1,1])\big)$.
Or, $\Gamma$ est fermé dans $]0,1]\times [-1,1]$ donc $\overline\Gamma\cap (]0,1]\times [-1,1])=\Gamma$...

topopot :

topopot a écrit:

2) Je suis d'accord que $\Gamma$ est fermé. Donc $\overline{\Gamma}=\Gamma$.

Non non, la courbe $\Gamma$ est fermée dans espace source $\times$ espace but, i.e. dans $]0,1]\times\Bbb R$ ou dans $]0,1]\times [-1,1]$ (suivant ce qu'on considère comme l'espace but). Elle n'est pas fermée dans $\Bbb R^2$.

topopot a écrit:

3) De plus, pourquoi fais-tu intervenir $\R$ dans l'expression $\overline{\Gamma}\cap (]0,1]\times\R)$ ? Je l'aurais remplacé par $[-1,1]$ mais le fais que tu ne le fasses pas et prennes $\R$ me fait douter. Même si ça ne change rien sauf erreur.

Ça ne change pas grand chose (je viens un peu de le dire dans ma phrase précédente).

$\def\Adh{\operatorname{Adh}}$Je vais reprendre en détail. Pour tous $E$ espace topologique et $X\subset E$, je note $\Adh_E(X)$ l'adhérence de $X$ dans $E$. Ici, $\overline\Gamma = \Adh_{\Bbb R^2}(\Gamma)$ car par défaut on prend l'adhérence dans le plan entier. J'utiliserai le fait suivant : si $X\subset E'\subset E$, alors $\Adh_{E'}(X)=\Adh_E(X)\cap E'$.

$\Gamma \subset [0,1]\times [-1,1]$ qui est fermé dans $\Bbb R^2$, donc $\overline \Gamma =\Adh_{\Bbb R^2}(\Gamma)\subset [0,1]\times [-1,1]$ par définition de l'adhérence. De plus, $x\mapsto \sin(\frac1x)$ est continue de $]0,1]$ vers $[-1,1]$, donc sa courbe $\Gamma$ est fermée dans $]0,1]\times\Bbb R$, i.e. $\Adh_{]0,1]\times[-1,1]}(\Gamma)=\Gamma $. Donc $$\begin{eqnarray*}
\overline\Gamma &=& \overline\Gamma\cap ([0,1]\times [-1,1]) \\
&=& \Big[\overline\Gamma\cap (\{0\}\times [-1,1]) \Big] \cup \Big[\overline\Gamma\cap (]0,1]\times [-1,1])\Big] \\
&=& \Big[\overline\Gamma\cap (\{0\}\times [-1,1]) \Big] \cup \Adh_{]0,1]\times [-1,1]}(\Gamma) \\
&\subset& (\{0\}\times [-1,1]) \cup \Gamma.
\end{eqnarray*}$$

Soit $z=: \left (x_n,y_n \right )_{n\in \N}$ une suite de $A:=\left (\{0\} \times [-1,1] \right) \cup \Gamma $ possédant une limite $(a,b)\in \R^2$.

-Supposons $a=0$. Alors comme $A\subseteq [0,1] \times [-1,1] $, $-1 \leq y_n \leq 1$ pour tout $n$ et donc $-1 \leq b \leq 1$. Donc $(a,b)\in \{0\} \times [-1,1] \subseteq A$.

-Supposons $a\neq 0$. $[0,1] \times [-1,1] $ est fermé donc $a\geq 0$ donc $a>0$. Soit $N\in \N$ tel que $x_n>\frac{a}{2}$ pour tout $n\geq N$. Alors pour tout $n\geq N$, $y_n = \sin \left ( \frac{1}{x_n}\right )$. Donc par passage à la limite (et continuité de la fonction $ t \mapsto \sin \left ( \frac{1}{t}\right )$ sur $\left ] \frac{a}{2},1\right ]$) on a $b= \sin \left ( \frac{1}{a}\right )$ i.e. $(a,b)\in \Gamma \subseteq A$.

@calli d'après ce que dit topo j'étais HS il voulait l'autre sens :-D.

@topo. Pour prouver qu'un ensemble est fermé, tu peux prouver que son complémentaire est ouvert. Ça t'aurait simplifié la vie.