Topologie induite

topopot · July 2020

Bonjour,

Petite question générique que je vais essayer de ne pas rendre trop vague.

A chaque fois que je réfléchis à des propriétés concernant des sous-espaces, donc vis-à-vis de la topologie induite, je me fais des nœuds au cerveau et j'arrive à y répondre uniquement en revenant aux définitions ce qui est parfois fastidieux (j'ai à chaque fois l'impression de refaire les mêmes mini-preuves "inutiles").

J'aimerais savoir si le mécanisme que je décris ci-dessous est vrai (j'en ai l'impression mais j'aimerais confirmation), cela me permettrait d'aller plus vite dans bien des situations.

Soient :

$(E,\mathcal O_E)$ un espace topologique,
$A$ une partie de $E$ munie de la topologie $\mathcal O_A$ induite par $\mathcal O_E$ sur $A$,
$X$ une partie de $E$.

1) Supposons que $X$ vérifie une propriété topologique quelconque (i.e. formulée uniquement avec les données de la topologie en question comme par exemple être ouvert, être fermé, être compact, être connexe, être séparé, etc.) dans $(E,\mathcal O_E)$.
Alors est-ce que $X\cap A$ vérifie la même propriété topologique dans $(A,\mathcal O_A)$ ?

2) Supposons que $X\subset A$ et que $X$ vérifie une propriété topologique quelconque dans $(A,\mathcal O_A)$.
Alors est-ce que $X$ vérifie encore cette propriété topologique dans $(E,\mathcal O_E)$ ?

Foys · July 2020

1) et 2) sont démentis en prenant $E:=\R$ avec sa topologie usuelle et $A:=\Q$.

1) $\R$ muni de sa topologie usuelle est de Baire (la propriété de Baire est purement topologique ), mais pas $\Q$ muni de la topologie induite.
2) Aucune partie non vide de $\Q$ n'est ouverte dans $\R$.

topopot · July 2020

Merci, cela ne sert à rien que je cherche des trucs plus généraux.

topopot · July 2020

Mais par exemple, si on se place dans $\R$ muni de la topologie usuelle, qu'on regarde $\Q$ comme sous-espace de $\R$ et qu'on prend un connexe $C$ de $\Q$. Pourquoi peut-on affirmer que $C$ est un connexe de $\R$ ?

N'utilise-t-on pas ici 2) :-S ?

Calli · July 2020

Salut,
La connexité, de même que la compacité ou la complétude, est une propriété qui ne dépend que de l'espace qui possède cette propriété. Si $A\subset X$ et $A$ est connexe, alors cette connexité est vraie peut importe $X$ et on n'utilise pas 2) en disant cela. Seule la topologie induire compte. Donc dire "$A$ un connexe de $X$" induit en erreur, car $A$ est connexe tout court.

Mais il y a des propriétés topologiques qui dépendent d'un espace ambiant : ouverture, fermeture, avoir un intérieur vide, être dense... C'est là que ton 2) peut ne pas marcher.

topopot · July 2020

Merci je pense avoir compris.

Informellement, on a une "stabilité vers l'espace plus grand" pour les propriétés topologiques qui ne dépendent pas de l'espace "externe" (par exemple, être compact, être connexe, être de Cauchy, être complet...).

Calli · July 2020

Oui. Mais attention au fait que "être de Cauchy" ne concerne pas des sous-espaces, mais des suites.

christophe c · July 2020

Informellement, on a une "stabilité vers l'espace plus grand" pour les propriétés topologiques qui ne dépendent pas de l'espace "externe"

C'est compliqué et bizarre de le dire comme ça. Essaie de voir si tu peux faire de l'analyse non standard, ça t'évitera de passer des centaines d'heures à circuler les yeux bandés. Ou utilise les notions de voisinages et de fermés. (ie pense en termes de qui est fermé, qui ne l'est pas). Si E est doté d'une topologie et A inclus dans E, une partie X de A est fermée (pour la top ind) quand, pour tout élément b de A "tendre vers b en restant dans X" ne permet pas de sortir de X, ie il n'est possible de tendre vers b ainsi que si $b$ est dans X

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