Topologie induite
Bonjour,
Petite question générique que je vais essayer de ne pas rendre trop vague.
A chaque fois que je réfléchis à des propriétés concernant des sous-espaces, donc vis-à-vis de la topologie induite, je me fais des nœuds au cerveau et j'arrive à y répondre uniquement en revenant aux définitions ce qui est parfois fastidieux (j'ai à chaque fois l'impression de refaire les mêmes mini-preuves "inutiles").
J'aimerais savoir si le mécanisme que je décris ci-dessous est vrai (j'en ai l'impression mais j'aimerais confirmation), cela me permettrait d'aller plus vite dans bien des situations.
Soient :
1) Supposons que $X$ vérifie une propriété topologique quelconque (i.e. formulée uniquement avec les données de la topologie en question comme par exemple être ouvert, être fermé, être compact, être connexe, être séparé, etc.) dans $(E,\mathcal O_E)$.
Alors est-ce que $X\cap A$ vérifie la même propriété topologique dans $(A,\mathcal O_A)$ ?
2) Supposons que $X\subset A$ et que $X$ vérifie une propriété topologique quelconque dans $(A,\mathcal O_A)$.
Alors est-ce que $X$ vérifie encore cette propriété topologique dans $(E,\mathcal O_E)$ ?
Petite question générique que je vais essayer de ne pas rendre trop vague.
A chaque fois que je réfléchis à des propriétés concernant des sous-espaces, donc vis-à-vis de la topologie induite, je me fais des nœuds au cerveau et j'arrive à y répondre uniquement en revenant aux définitions ce qui est parfois fastidieux (j'ai à chaque fois l'impression de refaire les mêmes mini-preuves "inutiles").
J'aimerais savoir si le mécanisme que je décris ci-dessous est vrai (j'en ai l'impression mais j'aimerais confirmation), cela me permettrait d'aller plus vite dans bien des situations.
Soient :
- $(E,\mathcal O_E)$ un espace topologique,
- $A$ une partie de $E$ munie de la topologie $\mathcal O_A$ induite par $\mathcal O_E$ sur $A$,
- $X$ une partie de $E$.
1) Supposons que $X$ vérifie une propriété topologique quelconque (i.e. formulée uniquement avec les données de la topologie en question comme par exemple être ouvert, être fermé, être compact, être connexe, être séparé, etc.) dans $(E,\mathcal O_E)$.
Alors est-ce que $X\cap A$ vérifie la même propriété topologique dans $(A,\mathcal O_A)$ ?
2) Supposons que $X\subset A$ et que $X$ vérifie une propriété topologique quelconque dans $(A,\mathcal O_A)$.
Alors est-ce que $X$ vérifie encore cette propriété topologique dans $(E,\mathcal O_E)$ ?
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Réponses
1) $\R$ muni de sa topologie usuelle est de Baire (la propriété de Baire est purement topologique ), mais pas $\Q$ muni de la topologie induite.
2) Aucune partie non vide de $\Q$ n'est ouverte dans $\R$.
N'utilise-t-on pas ici 2) :-S ?
La connexité, de même que la compacité ou la complétude, est une propriété qui ne dépend que de l'espace qui possède cette propriété. Si $A\subset X$ et $A$ est connexe, alors cette connexité est vraie peut importe $X$ et on n'utilise pas 2) en disant cela. Seule la topologie induire compte. Donc dire "$A$ un connexe de $X$" induit en erreur, car $A$ est connexe tout court.
Mais il y a des propriétés topologiques qui dépendent d'un espace ambiant : ouverture, fermeture, avoir un intérieur vide, être dense... C'est là que ton 2) peut ne pas marcher.
Informellement, on a une "stabilité vers l'espace plus grand" pour les propriétés topologiques qui ne dépendent pas de l'espace "externe" (par exemple, être compact, être connexe, être de Cauchy, être complet...).
C'est compliqué et bizarre de le dire comme ça. Essaie de voir si tu peux faire de l'analyse non standard, ça t'évitera de passer des centaines d'heures à circuler les yeux bandés. Ou utilise les notions de voisinages et de fermés. (ie pense en termes de qui est fermé, qui ne l'est pas). Si E est doté d'une topologie et A inclus dans E, une partie X de A est fermée (pour la top ind) quand, pour tout élément b de A "tendre vers b en restant dans X" ne permet pas de sortir de X, ie il n'est possible de tendre vers b ainsi que si $b$ est dans X