Norme sur un espace quelconque?

darbouka · July 2020

Bonjour,
Est-ce que la notion de "norme"existe uniquement sur un espace vectoriel, ou bien existe-t-il des normes sur d'autres types d'espaces (un peu comme la notion de "distance" qui peut être définie sur des espaces qui ne sont pas des espaces vectoriels)?

[Je ne sais pas si j'ai posté ma question dans la bonne partie du forum, libre aux modérateurs de déplacer ma question dans la bonne partie si nécessaire].

aléa · July 2020

La question n'est pas très claire.

On peut noter que tout espace métrique peut être injecté isométriquement dans un espace de Banach.

gerard0 · July 2020

Bonjour Darbouka.

Qu'appelles-tu norme lorsqu'il n'y a pas la structure d'espace vectoriel ?

Cordialement.

Calli · July 2020

Bonjour
La valeur absolue sur un corps est une notion qui ressemble un peu à une norme car elle vérifie aussi l'inégalité triangulaire. Soit $\Bbb K$ un corps. Une valeur absolue sur $\Bbb K$ est une fonction $|.|:\Bbb K\to [0,+\infty[$ telle que :

$\forall x\in\Bbb K,\ |x|=0\Leftrightarrow x=0$
$\forall (x,y)\in\Bbb K^2,\ |x+y|\leqslant |x|+|y| \text{ et } |xy| = |x|\cdot |y|.$

La valeur absolue usuelle sur $\Bbb R$ et le module sur $\Bbb C$ sont des exemples de valeurs absolues.
Mais ça n'est pas une norme. Ça y ressemble juste. Une norme nécessite un espace vectoriel.

Poirot · July 2020

Un corps est toujours un espace vectoriel sur son sous-corps premier par exemple.

darbouka · July 2020

Bonjour,
Je vous remercie pour vos réponses qui me donnent sujet à réflexion.
Vos différentes interventions apportent de nouvelles questions, ainsi que des réponses qui me permettent d'y voir plus clair.

Norme sur un espace quelconque?

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Bonjour!

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