Problème estival
Un problème estival pour ceux qui ont du temps à perdre...
Soient $C:=S^1\times \mathbb{R}$ le cylindre infini et $\gamma:[0,1]\to C$ un lacet (chemin fermé) faisant deux fois le tour du cylindre.
Montrer que $\gamma$ n'est pas simple, c'est-à-dire qu'il existe $t,s\in ]0,1[$ tels que $t\neq s$ et $\gamma(t) = \gamma(s)$.
Edit : Montrer que $\gamma$ n'est pas simple, c'est-à-dire qu'il existe $t\in [0,1]$ et $s\in]0,1[$ distincts tels que $\gamma(t) = \gamma(s)$.
Soient $C:=S^1\times \mathbb{R}$ le cylindre infini et $\gamma:[0,1]\to C$ un lacet (chemin fermé) faisant deux fois le tour du cylindre.
Montrer que $\gamma$ n'est pas simple, c'est-à-dire qu'il existe $t,s\in ]0,1[$ tels que $t\neq s$ et $\gamma(t) = \gamma(s)$.
Edit : Montrer que $\gamma$ n'est pas simple, c'est-à-dire qu'il existe $t\in [0,1]$ et $s\in]0,1[$ distincts tels que $\gamma(t) = \gamma(s)$.
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Réponses
Je suppose que ça veut dire que le chemin est le double de l'un des générateurs du groupe fondamental.
Soit $\gamma:[0,1]\to C$ un lacet faisant deux fois le tour du cylindre. Montrer qu'il existe $t \in [0,1]$ et $s\in ]0,1[$ distincts tels que $\gamma(t) = \gamma(s)$. Donc montrer que le lacet n'est pas simple.
@Poirot faire deux fois le tour du cylindre c'est ce qu'a formalisé Calli ou Bisam.
(mais c'est un bel exercice! )
Moi j'ai arrêté de lire à "simple" :)o (j'ai eu l'impression de lire la suite mais je crois que mon cerveau l'a zappée, comme ça arrive régulièrement).
Mais je t'invite à donner ta solution si tu en as une. Ça m'intéresse car la mienne est un peu compliquée.
Je vais utiliser ce théorème démontré il y a peu par un certain... raoul.S ! Cf. http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,2010694,2034658#msg-2034658.
Soit $\widetilde\gamma$ le relèvement de $\gamma$ dans le revêtement $\Bbb R^2 \to \Bbb R^2/(\Bbb Z\times\{0\})\cong C$. J'applique le théorème à $\widetilde\gamma$ et j'ai gagné ! (:D
On reformule en disant que c'est un lacet $S^1\to S^1\times \mathbb R$, et on veut montrer que ce n'est pas injectif.
Dans ce cas, par hypothèse (+ théorie des revêtements - c'est ça "les bons outils") notre lacet se factorise comme $S^1\to S^1\times \mathbb R\xrightarrow{(z\mapsto z^2)\times id_\mathbb R\,} S^1\times \mathbb R$.
Ensuite on applique le lemme suivant (amusant) : soit $f:S^1\to \mathbb R$, alors il existe $z\in S^1$ tel que $f(z) = f(-z)$ ("il existe deux points opposés sur terre où il y a la même température et la même pression", mais en dimension $1$)
On applique ceci à la projection $S^1\to S^1\times \mathbb R\to \mathbb R$, et le $z$ qu'on trouve convient (puisque $z^2= (-z)^2$)
(remarque en passant : le lemme est vrai en toutes dimensions, mais élémentaire en dimension $1$)
(je ris, mais Poirot a évidemment raison, dans mon message il faut rajouter des "continue" au bons endroits, je laisse ça en jeu de piste)
Bon OK, la devinette n'aura pas résisté longtemps.
Sinon Maxtimax si j'ai bien compris tu utilises un autre revêtement $p:S^1\times \mathbb R\xrightarrow{(z\mapsto z^2)\times id_\mathbb R\,} S^1\times \mathbb R$ et tu relèves $\gamma$ en $\widetilde\gamma : S^1\to S^1\times \mathbb R$.
On a donc $\gamma = p\circ \widetilde\gamma$ puis tu appliques ton lemme à qui ?
Haha. :-D
Du coup, tu m'as donné envie de proposer ma propre énigme topologique.
CC devrait se promener avec un Turing de poche... pour le décryptage.
Sorry je détaille : si je note $\widetilde\gamma := (\widetilde\gamma_1(z), \widetilde\gamma_2(z))$ avec $\widetilde\gamma_1(z)\in S^1$ et $\widetilde\gamma_2(z)\in \R$ alors par le lemme que tu cites, il existe $z_0$ tel que $\widetilde\gamma_2(-z_0)=\widetilde\gamma_2(z_0)$.
Tu dis que ce $z_0$ convient, mais comment conclure que $\gamma(z_0)=\gamma(-z_0)$ ?
On a $\gamma(-z_0)=(\widetilde\gamma_1(-z_0)^2,\widetilde\gamma_2(-z_0))=(\widetilde\gamma_1(-z_0)^2,\widetilde\gamma_2(z_0))$... et ? on fait comment pour exploiter le fait que $\gamma$ fait deux tours ?
Non tu as raison ça ne conclut pas, j'avais bêtement fait la factorisation dans l'autre sens (ce qui était tout à fait idiot).