Défi topologique
Réponses
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N'importe quel espace connexe tel que toute intersection dénombrable d'ouverts est un ouvert fait l'affaire.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Et tu imites les espaces connus avec fini à la place de dénombrable pour en construire (pardo npour le postage en deux temps).
J'espère que je vais t'avoir donné envie de crier fort :-D avec ces deux phrases laconiques, mais quelque part, tu t'es auto-délégitimé si tu le fais ;-)car tu as intitulé ça défi, donc il est naturel de pas tout donner tout cuit :-DAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
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Un exemple qui n'utilise pas la condition suffisante de christophe c (montrant d'ailleurs qu'elle n'est pas nécessaire..) :
On note $\tau$ la topologie usuelle sur $\mathbb{R}$,
et $\mathcal{D}$ l'ensemble des parties dénombrables (=finies ou infinies dénombrables) de $\mathbb{R}$.
On considère $\tau'=\left\{ U\cap D^{c}\right\} _{\left(U,D\right)\in\tau\times D}\;$
[ $D^{c}$ désignant le complémentaire de $D$ dans $\mathbb{R}$ ]
Alors $\tau'$ est une topologie sur $\mathbb{R}$...
Elle est séparée puisque $\tau\subset\tau'$.
$\left(\mathbb{R},\tau'\right)$est connexe :
Soit $\varOmega=U\cap D^{c}\in\tau'$, non vide ; on a $\varOmega^{c}=U^{c}\cup D$ ;
Or $U^{c}$ est un fermé (usuel) strict de $\mathbb{R}$, donc $U^{c}\cup D$ ne peut être un élément de $\tau'$ (les ouverts usuels non vides de $\mathbb{R}$
n'étant pas dénombrables..).
Enfin, si $\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge (pour $\tau'$) vers $a$, on note $E=\left\{ x_{i},\:x_{i}\neq a\right\} $ ;
alors $E^{c}$ est un $\tau'$-voisinage de $a$, et donc il existe un certain rang à partir duquel $x_{n}\in E^{c}$ (i.e. $x_{n}=a$)
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hum j'avoue, je suis peut-être allé un peu vite en besogne :-(
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Finalement ce n'est peut-être pas important. $\tau'$ est de toute façon une base d'une topologie. Il faudrait montrer proprement que $\mathbb{R}$ muni de cette topologie est connexe ou que les composantes connexes ne sont pas réduites aux singletons.
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je n'arrive pas à bien le formaliser ce soir, mais je pense quand même que c'est bon (pour la stabilité par union quelconque).. will see tomorow !
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Raoul a écrit:dans quelle définition je dois remplacer dénombrable par fini ?
Je me suis très mal exprimé. J'aurais dû écrire "et tu regardes les espaces connexes "habituels" ", ce qui les rend connexes, comment le fini y joue un rôle (du fait de la condition qu'une intersection fini d'ouverts est commandé comme l'étant), et tu "forces un peu plus" pour faire jouer ce rôle au dénombrable. " (et pardon pour le délai, j'étais bien sur internet aujourd'hui, mais .. sur twitter (qui est d'une hystérie qui me laisse bouche bée))
De toute façon Zig a résolu le défi de Calli "en beauté" en quelque sorte, puisqu'il rend n'importe quel espace topologique où aucun ouvert n'est dénombrable (à part le vide) exemple vérifiant la propriété de Calli en le modifiant à peine (les ouverts sont autorisés à se voir retirés un nombre dénombrable de points tout en restant ouverts dans la nouvelle topologie).
C'est donc infiniment mieux que ce que j'ai suggéré.
Il reste à répondre si le célèbre espace connexe et séparé dénombrable dont on a quelque fois parlé ($\Z$ où les ouverts sont les images de suites arithmétiques ayant une raison première avec un terme) vérifie la propriété attendue par Calli?
C'est probablement faux, mais ça reste à rédiger (pas par moi :-D fait trop chaud pour travailler comme disait ... )
HS: la connexité est un vrai mystère. J'ai pu prouver qu'aucun univers ne la gère correctement, dans le sens que dans tout univers, il une partie $A$ de $\R$ et 2 points $a,b$ différents, anisi qu'un ensemble dénombrable de parties finies $T$ tel que :
1/ il n'existe pas de connexe $C$ inclus dans $A$, contenant $a$ et $b$ et ne contenant comme sous-ensemble aucun des éléments de $T$
2/ il en existe un que l'univers ne voit pas (c'est à dire en dehors de l'univers). Un absolu je veux dire, pas ajouté à coup de forcing.
@Raoul: pour des raisons "vite visibles", il y a un lien avec "la dimension" (je parle si tu tiens absolument à construire un espace comme j'ai dit) topologique de l'espace qui ne peut pas être dénombrable (je pense qu'elle peut être n'importe quoi sauf dénombrable, mais pas sûr.)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Bravo Zig !! (:D C'est exactement l'espace auquel je pensais (même s'il existe d'autres exemples du même acabit).
$\tau'$ est bien une topologie.
$(\Bbb R,\tau')$ possède plusieurs propriétés intéressantes en plus de celles de la question posée. Il ne contient aucun compact infini. Il est connexe et localement connexe, mais aucune paire de points distincts n'est reliée par un chemin (autrement dit, il n'y a aucun sous-ensemble connexe par arcs à au moins deux éléments). Les fonctions continues $(\Bbb R,\tau')\to (\Bbb R,\tau)$ vérifient le TVI. Et les homéomorphies de $(\Bbb R,\tau')\to (\Bbb R,\tau')$ sont les mêmes que les homéomorphismes $(\Bbb R,\tau)\to (\Bbb R,\tau)$. (:D -
Christophe, tu as oublié l'hypothèse de séparation. Sans elle, c'est beaucoup plus facile.
Tous : Du coup, j'ai cherché un espace topologique connexe et séparé dont la topologie est stable par intersection dénombrable, mais je n'en ai pas trouvé. Des idées ? -
Calli écrivait dans le message précédent
> Tous : Du coup, j'ai ...
Déjà il ne faut pas chercher dans les métrisables.. sinon adieu la connexité.
[Éviter de recopier tout ou partie du dernier message. AD] -
De mon téléphone calli: je ne vois pas où "j'aurais oublié la séparation"
Sinon pour ta recherche je te propose de les construire artificiellement (c'est formellement sans obstacle) puis de les ruminer à feu doux puis finalement d'avoir assez de recul pour en proposer qui aient un style moins artificiel.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
christophe c a écrit:De mon téléphone calli: je ne vois pas où "j'aurais oublié la séparation"
Dans ton premier message :christophe c a écrit:N'importe quel espace connexe tel que toute intersection dénombrable d'ouverts est un ouvert fait l'affaire. -
Christophe, si tu connais un espace topologique qui répond à ma dernière question, donne-le s'il te plait au lieu de faire semblant de donner des indices.
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Je vois tu aurais préféré que j'écrive "fait l'affaire dès lors qu'il est séparé".
"fais semblant": lool. Si tu veux d'un pc je t'en définirai un mais tu pourrais le faire toi même. Il n'y a pas "de surprise". Qu'est-ce qui te bloque
quand tu essaies?Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
De mon pc, mais avec un flemme gigantesque, je te propose UNE EXEMPLE formel et précis, mais (ça n'a rien d'hostile, c'est juste que j'ai les horreurs de twitter dans la tête, et des tas d'autres pensées), ne compte pas sur moi CE SOIR (ni probablement demain, j'ai des tas de trucs à faire, des corvées continuellement remises) pour apporter la moindre preuve. Je ne fais que "produire" l'exemple naturel qui découle de mon tout premier post. Mais comme il est "concret", la preuve qu'il marche est probablement plus difficile que "l'espace fait pour exprès marcher abstrait".
Soit $H$ un Hilbert (par exemple) de grande dimension. Soit $T$ l'ensemble de ses convexes. Comme topologie tu prends les $A_X$ pour former la base, où $X$ parcourt les sous-espaces (affines) de codimension dénombrable de $H$.
J'ai "un peu" du mal à imaginer que ça ne marche pas, mais je n'ai fait que "donner vie académique" aux exemples "artificiels, mais faits exprès pour marcher". Donc, en espérant ne pas te décevoir s'il ne marche pas.
Remarque: pour l'inspiration, j'ai juste regardé comment on obtient des espaces connexes "très loin d'être compacts". En effet, tout ordre (borné) qui est connexe est compact car un point n'est attaquable que par 2 côtés (gauche et droite). C'est un peu la correspondance "graphes connexes / pas connexe"
Edit, l'ensemble des points est $T$. Je définis maintenant $A_X$, pour $X$ un demi-espace de $H$. C'est $P(X)\cap ConvexesDe(H)$.
Et la topologie est celle engendré par l'ensemble des intersections dénombrables de $A_X's$.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Quand on demande un énoncé propre à Christophe, il ne déçoit jamais... :-D
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Mais c'est qui $A_X$ ?
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Calli, j'ai aimé tes deux questions, donc j'ai posté sur ME, j’espère une réponse
https://math.stackexchange.com/questions/3765829/connected-and-hausdorff-topological-space-whose-topology-is-stable-under-countab?noredirect=1#comment7748029_3765829Le 😄 Farceur -
Non, pardon;, là j'avais tellement hâte d'aller bouffer que j'ai profondément exagéré. Je fais un edit.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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L'edit est fait, encore pardon, bon, vous n'avez attendu que 20mn :-S (Et une fois n'est pas coutume, en général, je suis informel de manière assumé ou alors je fais propre, non?)
Précision: je n'ai pas donné de preuve qu'il marche, juste une définition.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Christophe, ton espace n'est pas séparé car $H$ n'est dans aucun autre ouvert que $T$ tout entier.
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gebrane, j'ai trouvé le document dont parle "Brian M. Scott" sur MSE. J'ai commencé à lire mais pas jusqu'au bout parce que ç'a l'air pas très beau. En tout cas, on sait qu'il existe un espace avec les propriétés que j'ai demandé. Si jamais il en existe un exemple "joli", tant mieux, mais pas sûr que ce soit le cas visiblement.
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En cherchant à répondre à ma deuxième question, j'ai trouvé des espaces séparés sans point isolé et dont la topologie est stable par intersection dénombrable. Donc au lieu de "connexe" on a juste "sans point isolé" ; en particulier ces espaces sont non discrets. C'est moins bien que souhaité, mais je le partage quand même parce que je trouve ces exemples sympas.
Il y a $\Bbb R^{\omega_1}$ muni de la topologie de l'ordre lexicographique. Malheureusement, il est totalement discontinu.
Et il y a le quotient de $\Bbb R^{\Bbb N}$ muni de la topologie boîte par la relation d'égalité à partir d'un certain rang. Une base de la topologie est donnée par les images dans le quotient des ensembles du type $\prod\limits_{n\in \Bbb N} ]a_n,b_n[$. -
Calli a écrit:ton espace n'est pas séparé
Olalala, je suis vraiment désolé, l'erreur est pire, il n'est même pas $T_1$, avec les inclusions.
Pour me faire pardonner, mais vite fait, il n'est pas difficile*** de construire des ordres (mêmes totaux) tels que pour tout $a$, pour toute suite $u$ d'éléments $<a$, il existe $b<a$ qui majore encore $u$. Idem avec $>$ au lieu de $<$.
Soit $E$ un tel ensemble ordonné. La topologie de l'ordre a la propriété voulue et la connexité n'est pas trop dur à avoir avec des produits d'ordres.
*** là, je suis respectueux, ce n'est pas une "géométrisation d'idée de 3mn pour me forcer à répondre, j'ai souvent eu à construire ces ordres, car je m'intéressais à la philosophie du solide et le seul succédané que j'avais trouvé était ces ordres. Cela me permettait de donner "la même nature" à des ensembles adjacents considérés comme "solides" et ils se déplaçaient sur les point de l'ordre (total pour l'occasion).
Encore pardon pour mes convexes, j'ai trop vite cru que ça concrétisait la même idée, mais je me suis totalement trompé.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Merci pour le lien CalliLe 😄 Farceur
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J'adore CC. Notez la succession des messages :CC a écrit:"et tu regardes les espaces connexes "habituels" ", ce qui les rend connexes, comment le fini y joue un rôle (du fait de la condition qu'une intersection fini d'ouverts est commandé comme l'étant), et tu "forces un peu plus" pour faire jouer ce rôle au dénombrable. "
J'ai quand même essayé de faire quelque chose avec ça... Puis j'ai découvert ce que j'étais censé trouver :CC a écrit:Soit $H$ un Hilbert (par exemple) de grande dimension. Soit $T$ l'ensemble de ses convexes... Je définis maintenant $A_X$, pour $X$ un demi-espace de $H$. C'est $P(X)\cap ConvexesDe(H)$. Et la topologie est celle engendré par l'ensemble des intersections dénombrables de $A_X's$
L'unique chose en commun que j'ai trouvée entre les deux messages est le mot "dénombrable". -
@Raoul: ce ne sera pas intéressant mais je détaillerai. Mais j'avoue que sur ce coup difficile d'être plus Alzheimer que je l'ai été. En soi, ça m'inquiète un peu pour moi même. J'ai un résultat que je procrastine à rédiger sur AD et je le reverifie chaque jour de tête presque sans trouver d'erreur bin si ça fait comme pour T2 ici, je vais avoir un choc.
Par contre non tu verras d'un pc que mon premier msg était loyal et envoyait bien sur un territoire abondant.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Christophe :christophe c a écrit:Pour me faire pardonner, mais vite fait, il n'est pas difficile*** de construire des ordres (mêmes totaux) tels que pour tout $a$, pour toute suite $u$ d'éléments $<a$, il existe $b<a$ qui majore encore $u$. Idem avec $>$ au lieu de $<$.
J'avais parlé d'un exemple de tel ordre dans ce fil http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2033740 (ça n'avait malheureusement pas passionné les foules :-().christophe c a écrit:Soit $E$ un tel ensemble ordonné. La topologie de l'ordre a la propriété voulue et la connexité n'est pas trop dur à avoir avec des produits d'ordres.
Non, c'est faux. La topologie d'un produit d'ordres dont au moins un est tel que décrit ci-dessus n'est pas connexe. De manière générale, les topologies induites par des produits d'ordres sont rarement connexes (peut-être bien qu'elles ne le sont jamais, je ne sais pas).
Ça fait plusieurs fois que tu dis des choses fausses en déclarant "c'est très facile, je vous laisse le trouver par vous-même". Ça me rappelle ce fil http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,2003238 où tu as rabâché que la réponse était tellement évidente qu'on avait même pas besoin de chercher, mais tu n'avais au final donné aucune contribution concrète, aucun contre-exemple de ta part, si bien qu'on est incapable de dire si tu connaissais réellement des contre-exemples ou si tu ne faisais que fanfaronner. Ça commence à me faire douter de ta crédibilité...
Tu ferais mieux de donner de réelles contributions avec humilité au lieu d'envoyer des messages cryptés et de mener avec une assurance exagérée vers des pistes erronées. On devrait instaurer une règle, comme avec Pablo_de_retour à qui on essaye de faire comprendre que la réponse à ses messages qui terminent pas "non ?" est toujours "non !". La prochaine fois que tu veux dire "c'est évident, je vous laisse chercher" + {un indice qui n'indique rien}, dis-toi qu'il est fort probable que tu ne sois pas compris, que la chose ne soit pas évidente ou que tu te sois trompé, donc donne plutôt une vraie réponse au lieu de "c'est évident, je vous laisse chercher". -
Calli a écrit:si bien qu'on est incapable de dire si tu connaissais réellement des contre-exemples ou si tu ne faisais que fanfaronner. Ça commence à me faire douter de ta crédibilité...
Mais ce que tu décris là comme négatif est une très bonne chose. On est sur un forum de maths, si tu me croyais sur parole, ce serait inquiétant pour toi.
Bon, après je te trouve un peu sévère, mais vu mes errements dans le présent fil (celui dont tu parles, oui, j'avais l'exemple en tête et, j'ai la flemme d'aller relire, mais mon indice aurait pu marcher pour les autres), ce n'est pas le moment que je me défende.
Après, si on sort des maths et revient à la psychologie, je dois pouvoir te donner un élément chiffré: je me trompe environ 1 fois sur entre 10 et 20 dans des contextes comme le présent contexte. Donc oui, tu auras chaque fois raison de douter, mais je reste malgré tout assez fiable quand je fais des pronostics de maths. Bon, mais ce n'est que de la psycho.Calli a écrit:si tu connaissais réellement des contre-exemples ou si tu ne faisais que fanfaronner
J'espère pour toi que tu ne viens pas sur le forum pour évaluer mon niveau en maths :-D Ce serait tout de même triste, non? Je ne suis pas une jolie fille (ou un joli garçon) séduisante et jeune, mais un fumeur assez enrobé. Tu ne gagnes rien à penser quelque chose de moi, sauf si je montais un parti politique et te proposais d'adhérer.
Si tu cherches des gens plus fort que toi, je te donne une petite liste: JLT, maxtimax, GBZM, alea, NoName, Ritchie, dSP, marco, Noix de Toto, Poirot, bisam, guego, pb, mattar, (remarque: qui hélas ne vient plus), FOYS etc, etc, bon, il y en d'autres probablement, pardon à ceux que j'ai oubliés, mais si tu veux "faire des matchs", contre moi, tu vas t'ennuyer, je ne suis pas du tout un adversaire coriace (si tu veux une métaphore, j'ai une volée de gaucher avec quelques belles photos, mais je ne tiens pas le fond de cours) :-D
Au délà de toi (on m'en a déjà souvent parlé), je trouve assez édifiant les traces laissées sur les gens passés par les GE et en particulier Ulm. A plus de 60ans, il m'a été rapporté que des sommités actuelles que je connais bien et chacun patron de leurs labos se sont éternellement livré à un match. C'est tout de même un peu étrange (je donne les noms en MP :-D, pas en public). Du coup, on ne peut pas savoir ce qu'auraient produits ces deux matheux s'ils avaient collaboré.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Je ferai un effort les prochaines fois que je donnerai des indices par contre, c'est noté.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Christophe : tu voulais dire "plus forts que moi" je pense, sinon Calli va se sentir insulté que tu présumes de son niveau comme ça :-D
(non pas que je sois d'accord avec ta liste avec cette modification non plus, mais pour que tes intentions ne soient pas mal comprises) -
Ah non non je voulais bien dire toi. Sinon j'aurais dû mettre des centaines de noms, non pas que je suis modeste mais il y a bcp d'experts sur notre forum adoré. Et j'ai oublié CQ PUREE...!!!!
Mais tu as pas peur, toi, qu'il se sente devalue du fait que tu sembles attendre peu de son humour? :-D
Envoyé de mon téléphoneAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Purée et évidemment notre seul MF fidèle: FOYS.
Quelle horreur je ne ferai plus de liste tellement on s'en veut d'oublier des noms.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Tu voulais parler des sommités en question dans la suite de la phrase? Décidément, je lis aussi bien les textes mathématiques que le français!
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cc pourquoi ne pas classer les membres de ce forum suivant le nombre de messages, comme ça tu sera le top 1 et moi j'aurais un bon classement :-DLe 😄 Farceur
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@Amathoué, oui pardon, c'est ma phrase, très mal construite. Les sommités en question ont plus de 70 même! Moi je n'ai "que" 54ans.
@gebrane, je n'ai jamais eu la moindre envie d'être le premier quelque part, c'est une place qui est plus tourmentante qu'agréable. Même si je le pouvais car dispose en secret de la lampe d'Aladin, je m'arrangerai pour passer inaperçu 14e, etc (mais la question ne se pose pas, je n'ai pas la lampe d'Aladin). Pas sûr que bcp m'envient pour mes 43700 posts :-D :-DAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
cc disait je n'ai jamais eu la moindre envie d'être le premier quelque part.
Tu as oublié donc, il y a longtemps, tu m'avais dit que tu es parmi les meilleurs des meilleurs en ANS.
J'ai un souhait que maxtimax manifeste son génie au forum d'analyse . Il est vraiment unique et j’espère qu'il se rappelle d'un pseudo gebrane quand il sera célèbre et renommé dans le monde.;-)Le 😄 Farceur -
gebrane : l'appellation "génie" est flatteuse, mais (comme je l'ai, je crois, déjà dit sur le forum) je ne l'aime pas (du tout du tout)
Mais malgré ta "demande" :-D , je pense que je ne passerai pas plus que ça dans le forum d'analyse : je n'aime pas l'analyse, et je ne sais pas en faire (enfin, je savais en faire en prépa et j'ai quelques restes - ce qu'il me faut pour donner des colles - mais je n'ai pas de talent particulier pour, et je n'apporterais rien de bien intéressant) -
merci maxtimax et dommage.Le 😄 Farceur
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gebrane a écrit:cc disait je n'ai jamais eu la moindre envie d'être le premier quelque part.
Tu as oublié donc, il y a longtemps, tu m'avais dit que tu es parmi les meilleurs des meilleurs en ANS.
Ca n'a rien à voir. Je n'ai pas choisi d'être l'autorité mondiale en ANS, d'ailleurs, t'as vu je suis discret sur ce sujet :-DAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
gebrane a écrit:Il est vraiment unique et j’espère qu'il se rappelle d'un pseudo gebrane quand il sera célèbre et renommé dans le monde
Le problème (que je viens d'apprendre), c'est que maxtimax peut se détendre, pas besoin de la médaille Field (qui était pourtant quasi-certaine pour lui), ça ne rapporte que 10000 euros. Qu'est-ce qu'il va aller faire à tenter de la décrocher. Eventuellement en mode "tranquille", il trouvera peut-être un truc qui la lui vaudra, mais je ne crois pas (enfin s'il sait) maintenant qu'on a appris que c'est "juste pour l'honneur" que çà motive autant que les 600000 euros du Prixd Abel. Mais lui il semble peut-être un peu plus décerné à la manière du Nobel, pour une carrière, donc pour un maxtimax devenu oncle max. (En espérant qu'il existera encore).Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Le prix Abel of course (et Max évidemment aussi)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Il faut quand même admettre que certains sur le forum ont clairement "le niveau au-dessus" des autres.
Alors, moi j'essaie de profiter d'eux pour apprendre :-D -
@HT: ah bah oui, et je suis actuellement d'ailleurs très inquiet pour GBZM qui n'est pas venu depuis 2 mois et mattar qui ne donne plus signe de vie.
C'est rigolo ta stylistique de réponse, ça fait comme si quelqu'un avait dit le contraire :-D (je sais bien que ce n'est qu'un effet photo-électrique).
J'en profite pour mettre le lien vers les finances:
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2052704,2057644#msg-2057644Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Et j'en profite pour dire que je suis scandalisé. Dans un monde intelligent, CHAQUE problème ouvert serait mis à prix, avec des prix allant jusqu'à 100 000 000. C'est affligeant ces sommes ridicules.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Christophe : je cherche encore un truc que Poirot ne sait pas faire :-D
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(tu)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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