Topologie algébrique

Peux-tu le définir plus précisément ? Là ce n'est pas très clair

Sur un tore ordinaire il y a deux types de chemins fermés (boucles) à homotopie près.
Ceux qui ceinturent le tore et ceux qui font comme une anse au tore*.
En pinçant le tore les boucles qui faisaient anses deviennent homotopes à un chemin constant.
Donc fort de ce constat empirique je pense que le groupe fondamental du tore pincé est le même que celui du cercle (j'ai bien écrit cercle et pas disque)

*: On ne peut pas déformer une boucle d'un type en une boucle d'un autre type à cause du trou !

Ça m’a l’air correct. Dans le dernier, tu peux simplement mettre l’intervalle fermé à la place de la réunion.

Il y a plusieurs options possibles :

1) Est-ce que tu connais le théorème de Van Kampen version groupoïde ? Si oui on peut faire quelque chose de très sympa avec ça

2) Est-ce que tu as déjà calculé le groupe fondamental d'un tore épointé ? Tu te souviens de comment tu as fait ? est-ce que tu peux faire un truc similaire ?

Si la réponse aux deux est non, on peut te guider, disons pour le 2) (pour le 1) il faudrait apprendre de nouvelles notions donc ce ne serait pas pertinent dans le cadre d'un exercice)

Philippe : tu es sûr de toi ? J'ai l'impression que l'espace décrit a un $H_2$ non nul et que donc ça va être compliqué
(Mais je le fais de tête donc je me gourre peut-être)

Tu peux l'écrire ici (en blanc sur blanc par exemple) ou me l'envoyer en message privé ?

Selon moi, $T' = T^2/S^1$ pour un $S^1$ "transverse", et l'inclusion $S^1\to T^2$ est une cofibration, donc $H_2(T^2,S^1) \cong H_2(T^2/S^1)$, et pour le premier on a la suite exacte longue qui nous donne que $H_2(T^2)\cong \mathbb Z$ s'injecte dans $H_2(T^2,S^1)$. Donc $T^2/S^1$ ne peut pas être équivalent à $S^1$.


(je suis d'accord que ça donne le bon $\pi_1$, mais je ne crois pas que l'argument soit correct)

Peut-être une autre version, qui n'utilise pas le mot "cofibration" : $T^2$ a une structure de CW-complexe avec comme $1$-squelette $S^1\vee S^1$, et une seule $2$-cellule. Si on collapse une $1$-cellule, on obtient une structure de CW-complexe qui a une $1$-cellule et une $2$-cellule; au vu du $\pi_1$ qu'on obtient, on ne peut pas avoir $H_2 = 0$.

Troisième version : le dernier dessin de MrJ (ou un rappel que $S^2$ est la suspension non réduite de $S^1$) indique que $T^2$ est une sphère $S^2$ où on a identifié les deux pôles. Cela revient à mettre un bâton d'un pôle vers l'autre, et donc cela revient à $S^2\vee S^1$ (puisque $S^2$ est aussi la suspension réduite de $S^1$)

Par une autre méthode, on peut dire que le groupe fondamental d'un CW-complexe ne dépend que du $2$-squelette, donc on peut remplir le tore pincé (qui est une $2$-sphère avec deux points identifiés) par une $3$-boule sans modifier le groupe fondamental. En rétractant par déformation sur un cercle, on trouve le groupe fondamental.