Recherche de caractérisation
dans Topologie
Comme vous le savez, il y a des espaces métriques (compacts comme non compacts) qui sont partitionnables en une infinité dénombrable de fermés et d'autres non. J'appelle "être disco" le faut que ce soit possible. Ca ne dépend pas de la métrique.
Une condition suffisante pour qu'un espace compact (et même peut-être complet) NE SOIT PAS disco est que toutes les boules fermées non triviales soient homéomorphes les unes aux autres.
Mais ça me parait une condition un peu forte (et pas nécessaire).
Du coup, y aurait-il une condition (je sais, la question est vague) plus "intrinsèque" qui les caractériserait? Enfin, au moins les compacts non discos.
Merci, merciiiii
(Bien qu'elle soit vague, j'archive la question dans "il est facile de".
Une condition suffisante pour qu'un espace compact (et même peut-être complet) NE SOIT PAS disco est que toutes les boules fermées non triviales soient homéomorphes les unes aux autres.
Mais ça me parait une condition un peu forte (et pas nécessaire).
Du coup, y aurait-il une condition (je sais, la question est vague) plus "intrinsèque" qui les caractériserait? Enfin, au moins les compacts non discos.
Merci, merciiiii
(Bien qu'elle soit vague, j'archive la question dans "il est facile de".
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Réponses
La connexité a l'air de suffire d'après http://www.daniel-saada.eu/fichiers/19-Partitions_d_un_connexe.pdf.
En tout cas merci, car le doc balaie une grosse campagne et faune d'espaces.
De façon générale, en maths (et surtout en TDE), on a la notion d'arbre bien fondé. Leur avantage c'est que on peut leur associer un ordinal et faire des raisonnements par récurrence ordinale "tranquillement".
Soit $E$ compact métrique homéomorphe à toutes ses boules fermées et $A_1,A_2,..$ une suite recouvrant $E$. Soit $T$ l'arbre suivant:
$T:=$ l'ensemble des suites finies d'ouverts $U_1,U_2,.., U_p$ tels que $\forall i: A_i\subset U_i$ et $E$ n'est pas la réunion des $U_i$.
C'est un arbre bien fondé, hé hé. Il n'a pas de branche infinie.
Soit $a\in E$ tel que tout ouvert contenant $a$ soit non recouvrable par un nombre fini de $A_i$.
Si on suppose en plus que tous les $A_i$ sont fermés, il existe une BOULE $B$ contenant $a$ et un ouvert $U$ tel que $A_1\subset U$ avec $U\cap B = \emptyset$. A noter que $B$ est partitionnée par une infinité dénombrable de fermés.
Cela exclut la possibilité d'avoir un plus petit ordinal qui soit la hauteur d'un arbre contre-exemple à l'affirmation et donc exclut l'existence de contre-exemple à l'affirmation
Oserais-je suggérer à Christophe de nous fournir lui aussi de tels documents ?
Bien cordialement,
Fr. Ch.