La frontière d'un ouvert est d'intérieur vide
Bonjour à tous
J'essaie de montrer le résultat suivant.
La frontière d'un ouvert est d'intérieur vide, dans le cadre de la topologie générale.
Je considère donc un espace topologique $(X, T)$.
J'utiliserais les résultats suivants :
$\mathring{\overbrace{A \cap B}} = \mathring{\overbrace A} \cap \mathring{\overbrace B}$
$\mathring{\overbrace{X \setminus A}} = X \setminus \overline A$
$\overline{X \setminus A} = X \setminus \mathring A$
$Fr(A) = \overline A \setminus \mathring A = \overline A \cap (X \setminus \mathring A)$
Je m'intéresse donc à l'intérieur de la frontière de A, c'est-à-dire $\mathring{\overbrace{Fr(A)}}$.
$\mathring{\overbrace{Fr(A)}} = \mathring{\overbrace{\overline A \cap (X \setminus \mathring A)}} = \mathring{\overline A} \cap \mathring{\overbrace{(X \setminus \mathring A)}} = \mathring{\overline A} \cap (X \setminus \overline {\mathring A}) = \mathring{\overline A} \setminus \overline {\mathring A}$
Dans le cas où $A$ est un ouvert :
$\mathring{\overbrace{Fr(A)}} = \mathring{\overline A} \setminus \overline {\mathring A} = \mathring{\overline A} \setminus \overline A = \emptyset$, ce qui montre bien que $Fr(A)$ est d'intérieur vide.
Pour la dernière égalité, j'ai utilisé le fait que $\mathring{\overline A} \subset \overline A$
Je ne suis pas à très l'aise avec l'intérieur de l'adhérence, l'adhérence de l'intérieur, j'ai l'impression de jouer à l'apprenti sorcier, j'aimerais donc bien que vous me confirmiez que mon raisonnement est correct.
Ensuite je voudrais montrer que si $(X, d)$ est un espace métrique, $a \in X$ et $r > 0$, $\ Fr\big(B(a, r)\big) \subset S(a, r)$
Pour info il s'agit du test 5.8, page 68 du livre de Jean-Pierre Marco Mathématiques L3 : analyse.
Merci d'avance pour vos réponses !
[$\LaTeX$ fournit la commande \setminus qui gère les espacements, contrairement à \backslash. ;-) AD]
J'essaie de montrer le résultat suivant.
La frontière d'un ouvert est d'intérieur vide, dans le cadre de la topologie générale.
Je considère donc un espace topologique $(X, T)$.
J'utiliserais les résultats suivants :
$\mathring{\overbrace{A \cap B}} = \mathring{\overbrace A} \cap \mathring{\overbrace B}$
$\mathring{\overbrace{X \setminus A}} = X \setminus \overline A$
$\overline{X \setminus A} = X \setminus \mathring A$
$Fr(A) = \overline A \setminus \mathring A = \overline A \cap (X \setminus \mathring A)$
Je m'intéresse donc à l'intérieur de la frontière de A, c'est-à-dire $\mathring{\overbrace{Fr(A)}}$.
$\mathring{\overbrace{Fr(A)}} = \mathring{\overbrace{\overline A \cap (X \setminus \mathring A)}} = \mathring{\overline A} \cap \mathring{\overbrace{(X \setminus \mathring A)}} = \mathring{\overline A} \cap (X \setminus \overline {\mathring A}) = \mathring{\overline A} \setminus \overline {\mathring A}$
Dans le cas où $A$ est un ouvert :
$\mathring{\overbrace{Fr(A)}} = \mathring{\overline A} \setminus \overline {\mathring A} = \mathring{\overline A} \setminus \overline A = \emptyset$, ce qui montre bien que $Fr(A)$ est d'intérieur vide.
Pour la dernière égalité, j'ai utilisé le fait que $\mathring{\overline A} \subset \overline A$
Je ne suis pas à très l'aise avec l'intérieur de l'adhérence, l'adhérence de l'intérieur, j'ai l'impression de jouer à l'apprenti sorcier, j'aimerais donc bien que vous me confirmiez que mon raisonnement est correct.
Ensuite je voudrais montrer que si $(X, d)$ est un espace métrique, $a \in X$ et $r > 0$, $\ Fr\big(B(a, r)\big) \subset S(a, r)$
Pour info il s'agit du test 5.8, page 68 du livre de Jean-Pierre Marco Mathématiques L3 : analyse.
Merci d'avance pour vos réponses !
[$\LaTeX$ fournit la commande \setminus qui gère les espacements, contrairement à \backslash. ;-) AD]
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
A première vue c'est juste, mais assez compliqué.
Si tu veux comprendre comment ces notions s'imbriquent, prends $A=]0,1[\cup]1,2[\cup \{3\}\cup (\Q\cap([4,5])$ et construis tout ce que tu peux en combinant des intérieurs et des adhérences. Tu dois trouver 7 parties distinctes et tu peux même montrer que l'on ne peut pas faire mieux!
Pour ta deuxième question, prends sur n'importe quel ensemble ayant plus de deux éléments, la distance discrète ($d(x,x)=0$ et $d(x,y)=1$ si $x\neq y$).
$A = ]0,1[\cup]1,2[\cup \{3\}\cup (\Q\cap([4,5])$
$\overline A=[0,2]\cup \{3\}\cup [4,5]$
$\mathring{\overline A} = ]0,2[ \cup ]4,5[$
$\overline{\mathring{\overline A}} = [0,2] \cup [4,5]$
$\mathring{A} = ]0,1[\cup]1,2[$
$\overline{\mathring{A}} = [0, 2]$
$\mathring{\overline{\mathring{A}}} = ]0, 2[$
Pour montrer qu'on ne pourra jamais trouver plus que 7 partie distinctes, il faudrait montrer que $\mathring{ \overline{ \mathring{ \overline A}}} = \mathring{ \overline A}$ et $\overline{ \mathring{ \overline{ \mathring A}}} = \overline{ \mathring A}$
(quel que soit $A$ inclus dans $X$).
Il suffit pour cela de montrer que pour tout fermé $F$, $\mathring{ \overline{ \mathring F}} = \mathring F$ et que pour tout ouvert $O$, $\overline{ \mathring{ \overline O}} = \overline O$
Ce qui ne me parait pas si facile !
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
Pour te récompenser, voici un exemple d'espace métrique dans lequel la boule fermée de rayon 1 et son intérieur, la boule ouverte de rayon 1 et son adhérence sont quatre parties distinctes.
Dans $\R^2$, on prend $A=\{(0,y) \mid 1\leq y\}\cup\{(x,0) \mid 0\leq x\leq 1\}\cup\{(-1,0)\}$ muni de la brave distance euclidienne.
Edit: Définition de $A$ corrigée, merci bissam
Concernant la frontière $Fr(A)$ d'une partie $A$ d'un espace topologique $E$, je pense qu'une première chose à démontrer et à retenir, c'est que $A$ est ouvert si et seulement si $Fr(A)\cap A=\emptyset $, et que $A$ est fermé si et seulement si $Fr(A)\subset A$.
Ceci étant établi, il n'est pas difficile d'en déduire que la frontière d'un fermé est d’intérieur vide, ainsi d'ailleurs que la frontière d'un ouvert.
Question 2. Dans un espace métrique $E$, on a : $Fr(B(a,r)) \subset S(a,r)$.
Un point $z \in Fr(B(a,r))$ est adhérent à $B(a,r)$ et à son complémentaire $E\backslash B(a,r)$.
Il existe donc une suite $x_{n}\rightarrow z,x_{n}\in B(a,r)$,d'où : $ d(a,x_{n})<r$, ce qui implique : $d(a,z)\leq r$.
Et il existe une suite $y_{n}\rightarrow z,y_{n}\in E\backslash B(a,r)$, d'où : $d(a,y_{n})\geq r$, ce qui implique : $d(a,z)\ge r$. Etc.
Dans un espace métrique quelconque, on n'a pas nécessairement, l’égalité $Fr(B(a,r)) = S(a,r)$, mais c'est toujours le cas dans un espace vectoriel normé. Il serait intéressant de trouver des conditions que doit vérifier un espace métrique pour que cette égalité soit assurée. Peut-être connexe par arcs et non borné ? Je n'en jurerais pas...
Question 3. Dans un espace topologique $E$, les parties $A$, $\mathring{A}$, $ \overline A $, $ \mathring{\overline A}$, etc. sont au nombre de $7$ au plus.
On considère les applications $u:A \mapsto \mathring{A}$, $v:A \mapsto \overline A $, de $\mathfrak{P}(E)$ dans lui-même. Applications croissantes telles que : $u(A) \subset A \subset v(A)$ et $u^2=u, v^2=v$. On pose : $f=uv$ et $g=vu$ et l'on démontre que $f^2=f, g^2=g$. En fait, c'est plutôt un problème d'algèbre, sur les monoïdes.
Cet exercice, ce n'est pas un perdreau de l'année : on le trouve déjà dans le cours de l'APMEP, 1966
Une belle propriété de la frontière c'est : dans un espace vectoriel normé, toute partie fermée est un ensemble-frontière.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
C'est bien la définition naturelle d'une frontière, pour toute partie $A$ quelconque, et pas seulement fermée, ouverte, ou autre. Tout ce qu'on en peut dire ensuite, ce sont des conséquences de cette définition, qu'on espère rédigées de façon claire et compréhensible par le tout-venant des matheux comme moi.
Bonne journée.
Fr. Ch.
$A \cap Fr(A) = A \cap (\overline A \cap (X \setminus \mathring A)) = A \cap \overline A \cap (X \setminus \mathring A) = A \cap (X \setminus \mathring A) = A \setminus \mathring A$
$A \cap Fr(A) = \emptyset \Longleftrightarrow A \setminus \mathring A = \emptyset \Longleftrightarrow A \subset \mathring A \Longleftrightarrow A$ est un ouvert de X
$Fr(A) \subset A \Longleftrightarrow Fr(A) \cup A = A \Longleftrightarrow \overline A = A \Longleftrightarrow A$ est un fermé de X
J'essaie d'utiliser cela pour montrer que si A est un fermé, sa frontière est d'intérieur vide.
Si $A$ est fermé, $Fr(A) \subset A$
$Fr(A) \subset A$ donc $\mathring{\overbrace{Fr(A)}} \subset \mathring A$
Je n'y arrive pas avec cette méthode...
Dans $A \subset \R^2$, on prend $A=\{(0,y) \mid 1\leq y\} \cup \{(x,0) \mid 0\leq x\leq 1\} \cup \{(-1,0)\}$ muni de la brave distance euclidienne.
$B(0, 1) = \{(x,0) \mid 0 \leq x < 1\}$
$\overline {B(0, 1)} = \{(x,0) \mid 0 \leq x \leq 1\}$
$B_f(0, 1) = \{(x,0) \mid 0 \leq x \leq 1\} \cup \{(-1,0) ; (1, 0) \}$
$\mathring{\overbrace{B_f(0, 1)}} = \{(x,0) \mid 0 < x < 1\}$
Concernant la fin de ton message, peut-il y avoir des points intérieurs à $A$ dans la frontière de $A$ ?
Si $A$ est fermé, $Fr(A) \subset A$
$Fr(A) \subset A$ donc $\mathring{\overbrace{Fr(A)}} \subset \mathring A$
Or $\forall A \subset X,\ \mathring A \cap Fr(A) = \emptyset$, donc a fortiori, $\mathring A \cap \mathring{\overbrace{Fr(A)}} = \emptyset$
Par conséquent, $\mathring{\overbrace{Fr(A)}} \subset \mathring A \Longrightarrow \mathring{\overbrace{Fr(A)}} = \emptyset$
Soit $x$ dans l'intérieur de cette frontière. Alors il existe un ouvert $V$ contenant $x$ et tel que $V\subseteq \overline U \backslash U$ (*). Mais $V$ étant un voisinage de $x$ et $x$ étant adhérent à $U$, $V$ rencontre $U$ ce qui contredit (*).
Donc il ne peut exister de tel $x$.
En français vague, le point crucial, c'est qu'un point intérieur à la frontière de U ne peut être que HORS de $U$ ainsi que tous les points de son voisinage, de sorte .. qu'il n'est pas sur la frontière de $U$. Mais, pour des raisons "affectives", je pense qu'il fallait "évacuer de manière verbalisée" ce cas du point frontière "hors" de $U$ et pas juste dire qu'il n'y en a pas .. dans $U$.
C'est toujours comme ça qu'on m'avait défini la frontière :-S
A quoi d'autre pensais-tu?
$x \in \mathring A \Longleftrightarrow \exists V \in \mathcal{V}(x),\ x \in V \subset A$
Selon les auteurs, la définition de $\mathring A$ est $\mathring A = \{ x \in X\mid \exists V \in \mathcal{V}(x),\ x \in V \subset A\}$ ou "le plus grand ouvert inclus dans $A$"