La frontière d'un ouvert est d'intérieur vide

Bonjour

A première vue c'est juste, mais assez compliqué.
Si tu veux comprendre comment ces notions s'imbriquent, prends $A=]0,1[\cup]1,2[\cup \{3\}\cup (\Q\cap([4,5])$ et construis tout ce que tu peux en combinant des intérieurs et des adhérences. Tu dois trouver 7 parties distinctes et tu peux même montrer que l'on ne peut pas faire mieux!

Pour ta deuxième question, prends sur n'importe quel ensemble ayant plus de deux éléments, la distance discrète ($d(x,x)=0$ et $d(x,y)=1$ si $x\neq y$).

Essaye de montrer une inclusion, puis l'autre.

Question 1. La frontière d'un fermé est d'intérieur vide.
Concernant la frontière $Fr(A)$ d'une partie $A$ d'un espace topologique $E$, je pense qu'une première chose à démontrer et à retenir, c'est que $A$ est ouvert si et seulement si $Fr(A)\cap A=\emptyset $, et que $A$ est fermé si et seulement si $Fr(A)\subset A$.
Ceci étant établi, il n'est pas difficile d'en déduire que la frontière d'un fermé est d’intérieur vide, ainsi d'ailleurs que la frontière d'un ouvert.

Question 2. Dans un espace métrique $E$, on a : $Fr(B(a,r)) \subset S(a,r)$.
Un point $z \in Fr(B(a,r))$ est adhérent à $B(a,r)$ et à son complémentaire $E\backslash B(a,r)$.
Il existe donc une suite $x_{n}\rightarrow z,x_{n}\in B(a,r)$,d'où : $ d(a,x_{n})<r$, ce qui implique : $d(a,z)\leq r$.
Et il existe une suite $y_{n}\rightarrow z,y_{n}\in E\backslash B(a,r)$, d'où : $d(a,y_{n})\geq r$, ce qui implique : $d(a,z)\ge r$. Etc.
Dans un espace métrique quelconque, on n'a pas nécessairement, l’égalité $Fr(B(a,r)) = S(a,r)$, mais c'est toujours le cas dans un espace vectoriel normé. Il serait intéressant de trouver des conditions que doit vérifier un espace métrique pour que cette égalité soit assurée. Peut-être connexe par arcs et non borné ? Je n'en jurerais pas...

Question 3. Dans un espace topologique $E$, les parties $A$, $\mathring{A}$, $ \overline A $, $ \mathring{\overline A}$, etc. sont au nombre de $7$ au plus.
On considère les applications $u:A \mapsto \mathring{A}$, $v:A \mapsto \overline A $, de $\mathfrak{P}(E)$ dans lui-même. Applications croissantes telles que : $u(A) \subset A \subset v(A)$ et $u^2=u, v^2=v$. On pose : $f=uv$ et $g=vu$ et l'on démontre que $f^2=f, g^2=g$. En fait, c'est plutôt un problème d'algèbre, sur les monoïdes.
Cet exercice, ce n'est pas un perdreau de l'année : on le trouve déjà dans le cours de l'APMEP, 1966

Une belle propriété de la frontière c'est : dans un espace vectoriel normé, toute partie fermée est un ensemble-frontière.

Bonne soirée.
Fr. Ch.

Applications croissantes $u$ et $v$ : c'est dit dans mon message.

Dans un espace topologique $E$, un point -frontière d'une partie $A$, quelle qu'elle soit, est un point tel que dans tout voisinage de ce point il y a un point de l'ensemble $A$ et un point de $E$ qui n'est pas dans l'ensemble $A$, et c'est tout. Autrement dit, la frontière de $A$ est PAR DÉFINITION : $ Fr(A)= \overline A \cap \overline {E \setminus A} $.

C'est bien la définition naturelle d'une frontière, pour toute partie $A$ quelconque, et pas seulement fermée, ouverte, ou autre. Tout ce qu'on en peut dire ensuite, ce sont des conséquences de cette définition, qu'on espère rédigées de façon claire et compréhensible par le tout-venant des matheux comme moi.

Bonne journée.
Fr. Ch.

@foys: pour les gens, c'est ta première ligne qui peut les faire peiner. Elle mérite une exposition médiatique plus délayée (ou un recours sec aux définitions officielles).

En français vague, le point crucial, c'est qu'un point intérieur à la frontière de U ne peut être que HORS de $U$ ainsi que tous les points de son voisinage, de sorte .. qu'il n'est pas sur la frontière de $U$. Mais, pour des raisons "affectives", je pense qu'il fallait "évacuer de manière verbalisée" ce cas du point frontière "hors" de $U$ et pas juste dire qu'il n'y en a pas .. dans $U$.

christophe c a écrit:

@foys: pour les gens, c'est ta première ligne qui peut les faire peiner. Elle mérite une exposition médiatique plus délayée (ou un recours sec aux définitions officielles).

C'est toujours comme ça qu'on m'avait défini la frontière :-S
A quoi d'autre pensais-tu?