Image d'un ensemble de mesure nulle
dans Topologie
Bonjour,
Je n'ai pas trouvé de topics qui répondaient clairement à ma question et après avoir cherché, je bute toujours sur un problème.
Je veux montrer que si $U$ est un ouvert de $\mathbb{R}^n$ et $f$ est une fonction de classe $C^1(U,\mathbb{R}^n)$ alors, $f$ préserve les ensembles de mesure de Lebesgue nulle, $\textit{ie}$ pour tout $E$ de mesure nulle, $f(E)$ est de mesure nulle.
Pour cela, j'ai d'abord montré que si $B$ est une boule fermée de $U$, alors $f$ est $K$-lipschitzienne sur $B$. Soit $C\subset B$ un $n$-cube de mesure $\delta>0$, $f(C)$ est de mesure au plus $K^n\delta$, on peut donc rendre cette image arbitrairement petite en prenant $\delta$ petit.
Dans la preuve que je suis, l'auteur recouvre ensuite $E\cap B$ par une union dénombrables de cubes de mesure totale au plus $\varepsilon>0$, ce qui permet de conclure quand à la nullité de la mesure de $f(E\cap $.
C'est ce dernier argument de recouvrement que je ne comprends pas, on a pas supposé $E$ compact donc j'aimerai bien un peu d'aide pour comprendre cet argument.
Merci d'avance!
Je n'ai pas trouvé de topics qui répondaient clairement à ma question et après avoir cherché, je bute toujours sur un problème.
Je veux montrer que si $U$ est un ouvert de $\mathbb{R}^n$ et $f$ est une fonction de classe $C^1(U,\mathbb{R}^n)$ alors, $f$ préserve les ensembles de mesure de Lebesgue nulle, $\textit{ie}$ pour tout $E$ de mesure nulle, $f(E)$ est de mesure nulle.
Pour cela, j'ai d'abord montré que si $B$ est une boule fermée de $U$, alors $f$ est $K$-lipschitzienne sur $B$. Soit $C\subset B$ un $n$-cube de mesure $\delta>0$, $f(C)$ est de mesure au plus $K^n\delta$, on peut donc rendre cette image arbitrairement petite en prenant $\delta$ petit.
Dans la preuve que je suis, l'auteur recouvre ensuite $E\cap B$ par une union dénombrables de cubes de mesure totale au plus $\varepsilon>0$, ce qui permet de conclure quand à la nullité de la mesure de $f(E\cap $.
C'est ce dernier argument de recouvrement que je ne comprends pas, on a pas supposé $E$ compact donc j'aimerai bien un peu d'aide pour comprendre cet argument.
Merci d'avance!
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Réponses
Pour finir, tu écris $E = \bigcup_{i \in \mathbb N} E \cap B_i$ où les $B_i$ sont des boules fermées dont la réunion fait $\mathbb R^n$. Un peu de réflexion te permettra de conclure.
Je comprends toute ta réponse sauf ton "ainsi" à la première ligne, est-ce un truc trivial ? Je ne connais aucun lemme faisant le lien entre négligeabilité d'un borélien et d'un possible recouvrement.
J'avais bien compris le reste de la preuve sinon, merci quand même.
Si pour toi la définition est $\lambda(E)=0$, alors il faut se rappeler de la construction de la mesure de Lebesgue par les mesures extérieures.