Image d'un ensemble de mesure nulle

viv-lémath
viv-lémath
dans Topologie
Bonjour,

Je n'ai pas trouvé de topics qui répondaient clairement à ma question et après avoir cherché, je bute toujours sur un problème.

Je veux montrer que si $U$ est un ouvert de $\mathbb{R}^n$ et $f$ est une fonction de classe $C^1(U,\mathbb{R}^n)$ alors, $f$ préserve les ensembles de mesure de Lebesgue nulle, $\textit{ie}$ pour tout $E$ de mesure nulle, $f(E)$ est de mesure nulle.

Pour cela, j'ai d'abord montré que si $B$ est une boule fermée de $U$, alors $f$ est $K$-lipschitzienne sur $B$. Soit $C\subset B$ un $n$-cube de mesure $\delta>0$, $f(C)$ est de mesure au plus $K^n\delta$, on peut donc rendre cette image arbitrairement petite en prenant $\delta$ petit.

Dans la preuve que je suis, l'auteur recouvre ensuite $E\cap B$ par une union dénombrables de cubes de mesure totale au plus $\varepsilon>0$, ce qui permet de conclure quand à la nullité de la mesure de $f(E\cap B)$.

C'est ce dernier argument de recouvrement que je ne comprends pas, on a pas supposé $E$ compact donc j'aimerai bien un peu d'aide pour comprendre cet argument.

Merci d'avance!

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Pour terminer l'argument, il suffit de dire que $E \cap B$ est également de mesure nulle, ainsi tu peux le recouvrir par une réunion dénombrable de cubes dont la somme des mesures est arbitrairement petite : pour tout $\varepsilon > 0$, on a $E \cap B \subset \bigcup_{k \in \mathbb N} C_k$ avec les $C_k$ des cubes tels que $\sum_{k \in \mathbb N} \lambda(C_k) < \varepsilon$. On a alors $f(E \cap B) \subset \bigcup_{n \in \mathbb N} f(C_n)$ et avec le premier argument, $\lambda(f(E \cap B)) \leq K^n \varepsilon$.

    Pour finir, tu écris $E = \bigcup_{i \in \mathbb N} E \cap B_i$ où les $B_i$ sont des boules fermées dont la réunion fait $\mathbb R^n$. Un peu de réflexion te permettra de conclure.
  • viv-lémath
    viv-lémath
    Merci beaucoup Poirot pour ta réponse mais tu as mal compris mon problème je crois.

    Je comprends toute ta réponse sauf ton "ainsi" à la première ligne, est-ce un truc trivial ? Je ne connais aucun lemme faisant le lien entre négligeabilité d'un borélien et d'un possible recouvrement.

    J'avais bien compris le reste de la preuve sinon, merci quand même.
  • Poirot
    Poirot
    C'est une définition de la négligeabilité !

    Si pour toi la définition est $\lambda(E)=0$, alors il faut se rappeler de la construction de la mesure de Lebesgue par les mesures extérieures.
  • viv-lémath
    viv-lémath
    Ah je n'avais jamais entendu parler de cette autre définition! Merci beaucoup.
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