Cohomologie singulière : le cup-produit
Bonjour,
Soient $X$ un espace topologique et $K$ un corps. J'ai lu dans un cours la définition du cup-produit jointe en image. Je ne suis pas sûr de bien la comprendre, donc je tente une reformulation.
Soient $\varphi : H_i(X,K)\to K$ et $\psi:H_j(X,K)\to K$ deux classes de cohomologie singulière de $X$. Soit $\Delta$ l'application $X\to X^2, x\mapsto (x,x)$ et $p$ la projection évidente de la somme directe ci-dessous. On définit $\varphi \cup \psi$ par : $$\xymatrix{
H_{i+j}(X,K) \ar[r]^{H_{i+j}(\Delta)} & H_{i+j}(X^2,K) & \displaystyle\bigoplus_{k+\ell=i+j} H_k(X,K)\otimes H_\ell(X,K) \ar[l]_-{\cong} \ar[r]^-{p} & H_i(X,K)\otimes H_j(X,K) \ar[r]^-{\varphi\otimes\psi} & K}$$
Est-ce que c'est bon ?
Merci d'avance
Soient $X$ un espace topologique et $K$ un corps. J'ai lu dans un cours la définition du cup-produit jointe en image. Je ne suis pas sûr de bien la comprendre, donc je tente une reformulation.
Soient $\varphi : H_i(X,K)\to K$ et $\psi:H_j(X,K)\to K$ deux classes de cohomologie singulière de $X$. Soit $\Delta$ l'application $X\to X^2, x\mapsto (x,x)$ et $p$ la projection évidente de la somme directe ci-dessous. On définit $\varphi \cup \psi$ par : $$\xymatrix{
H_{i+j}(X,K) \ar[r]^{H_{i+j}(\Delta)} & H_{i+j}(X^2,K) & \displaystyle\bigoplus_{k+\ell=i+j} H_k(X,K)\otimes H_\ell(X,K) \ar[l]_-{\cong} \ar[r]^-{p} & H_i(X,K)\otimes H_j(X,K) \ar[r]^-{\varphi\otimes\psi} & K}$$
Est-ce que c'est bon ?
Merci d'avance
Réponses
-
Oui, la seule différence avec ce qui est écrit est que tu le fais indice par indice, tandis que Geoffroy (si c'est toujours son cours) l'écrit comme une application entre machin gradués (avec la définition "évidente" du produit tensoriel de machins gradués)
Bon, son écriture n'est pas optimale parce que $\phi\otimes \psi$ n'est pas un morphisme gradué, mais bon, ça se comprend. -
Merci ! Je n'étais pas sûr que ce soit grâce à $p$ qu'on récupère quelque chose dans $H_i(X,K)\otimes H_j(X,K)$. Et c'est bien le cours de Geoffroy Horel.
-
Bah en fait l'avantage de son écriture c'est que du coup tu peux vraiment partir de $\varphi : H_*(X;K)\to K$, et donc voir $\varphi$ comme une collection $(\varphi_i : H_i(X;K)\to K)_i$; et donc tu n'as pas "besoin" de passer par $p$.
ça fait que tu vois en quelque sorte $H^*(X;K)$ comme $\prod_n H^n(X;K)$.
Enfin c'est de l'esthétique, mais certaines personnes le font vraiment comme ça (par exemple, tu liras peut-être un jour des choses comme $H^*(\mathbb CP^\infty; K) \cong Kx$) -
Moi je trouve que c'est moins clair avec des $H_*$.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 69 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
Qui est en ligne 25
+14 Invités