$A\cup B=\mathbb{R}^2$ bis ?

Si $A$ est une couronne et $B$ son complémentaire la réponse est non. Non ? :-S

Edit : À quelques secondes près Calli a été est plus rapide que moi !

Soit $A$ non simplement connexe, il existe donc un lacet $\gamma $ inclus dans $A$ qui ne soit pas homotope à un point. D'après le théorème de Jordan ce lacet découpe le plan en deux (trois si l'on compte la courbe) parties, dont l'une est compacte (nommons là $C$) et l'autre non (nommons la $D$).

D'après ce théorème la partie $C$ contient nécessairement un point de $B$. En effet dans le cas contraire $C$ est homéomorphe à un disque qui est simplement connexe et donc notre lacet de départ et homotope à un point. Puisque $B$ est connexe et que $B\cap \gamma = \emptyset$ on en déduit que $B\cap D = \emptyset$ et donc que $B\subset C$ ce qui implique que $B$ est bornée.

Petite précision : dans la démonstration que j'ai donnée $\R^2$ est l'union disjointe de $C$, $D$ et $\gamma$. Puisque $\gamma$ est fermé les parties $C$ et $D$ sont ouvertes. Si $B\cap D$ était non vide alors on aurait $B= (B\cap D)\cup (B\cap C)$, contredisant la connexité de $B$.

Reste à savoir si on peut se passer du théorème de Jordan-Schoenflies.

Ah oui, bonne question. Je n'avais pas fait attention à ça.

Je ne sais pas, il me semble qu'on peut avoir des trucs bien plus "graves".

En l'absence d'hypothèses sur $A$ qui permettent d'approximer $\gamma$ (typiquement par un truc $C^\infty$), je ne suis pas sûr de comment assurer qu'on peut choisir un gentil $\gamma$.

Calli : Tu as raison. Dans le cas de menottes on peut tout de même les décomposer en trois lacets dont deux sont simples et le troisième (la chaine reliant les deux anneaux) est contractile dans le lacet complet. Il faut donc rajouter l’existence possible de parties contractiles dans cette hypothétique décomposition.

Matimax : oui je ne serais pas complètement surpris qu'il puisse exister des trucs encore pire que ça. Là ou je serais vraiment très surpris c'est s'il existait un sous ensemble $A$ du plan tel que :
-$A$ n'est pas simplement connexe.
-Tout lacet simple dans $A$ est contractile.
Je ne m'y connais pas assez en topologie algébrique, peut-être qu'il existe des théorèmes de structure sur le groupe fondamental disant qu'il existe une système de générateur constitué uniquement de lacets simples ? Au moins pour les sous ensembles du plan ?