$ C^* $-algèbres
dans Topologie
Bonsoir à tous
Soit $ X $ un espace topologique.
Soit $ \mathcal{C}_0 ( X ) $ l'espace des fonctions continues sur $ X $ s'annulant à l'infini.
Est-ce que si $ X $ n'est pas localement compact, $ \mathcal{C}_0 ( X ) $ existe toujours et est non vide ?
Merci d'avance.
Soit $ X $ un espace topologique.
Soit $ \mathcal{C}_0 ( X ) $ l'espace des fonctions continues sur $ X $ s'annulant à l'infini.
Est-ce que si $ X $ n'est pas localement compact, $ \mathcal{C}_0 ( X ) $ existe toujours et est non vide ?
Merci d'avance.
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Réponses
Merci d'avance.
Soit $ X $ un espace topologique localement compact.
Une fonction continue $ f \ : \ X \to \mathbb{C} $ s'annulant à l'infini est celle qui vérifie par définition,
pour tout $ \epsilon > 0 $, il existe un sous-ensemble $ C \subset X $ compact, tel que pour tout $ x \in X \setminus C , \ |f(x)| < \epsilon $.
Si $ X $ est compact, toutes les fonctions s'annulent à l'infini.
Voir ici, http://www.iga.adelaide.edu.au/Hochs.pdf pour plus de détails.
Supposons que l'on perde la compacité locale mais que l'on garde cette définition d'une fonction continue s'annulant à l'infini.
Je dirais que la fonction nulle fait bien toujours l'affaire !
.[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
Est ce que, $ \mathcal{C}_0 (X) $ contient assez d'éléments lorsque $ X $ n'est pas localement compact ?
Merci d'avance.
C'est combien, "assez" ?
Cordialement,
Rescassol
Alors, si $ X = \mathbb{Q} $ n'est pas muni d'une structure d'espace topologique discret, alors, $ \mathbb{Q} $ est un simple ensemble dénombrable. On trouve alors, $ \mathcal{C}_0 ( \mathbb{Q} ) = \mathbb{C}^{ \mathbb{Q} } $.
Si maintenant, on munit $ X = \mathbb{Q} $ d'une structure d'espace topologique discret, alors, $ \mathbb{Q} $ est dénombrable à l'infini. On trouve alors, $ \mathcal{C}_0 ( \mathbb{Q} ) = \mathbb{C}^{( \mathbb{Q}) } $.
Est ce que c'est correct JLT ?
On note $ \mathcal{F} ( \mathbb{Q} ) $ l'espace des fonctions numériques quelconques, $ f \ : \ \mathbb{Q} \to \mathbb{C} $.
On note $ \mathcal{F}_0 ( \mathbb{Q} ) $ l'espace des fonctions numériques, $ f \ : \ \mathbb{Q} \to \mathbb{C} $ s'annulant à l'infini
.
- Si, $ \mathbb{Q} $ n'est pas un espace topologique discret, alors, il n'existe aucun compact $ K \subset \mathbb{Q} $, tels que, $ f_{|\mathbb{Q} \backslash K} = 0 $ avec, $ f \in \mathcal{F} ( \mathbb{Q} ) $, c'est à dire, c'est
un simple ensemble dénombrable qu'on identifie trivialement à un espace topologique muni de la topologie grossière. D'où, toutes les fonctions sur $ \mathbb{Q} $
sont continues et s'annulant à l'infini.
$$ \mathcal{C}_0 ( \mathbb{Q} ) = \mathcal{F}_0 ( \mathbb{Q} ) = \mathcal{F} ( \mathbb{Q} ) = \mathbb{C}^{ \mathbb{Q} } $$
- Si $ X = \mathbb{Q} $ est un espace topologique discret, alors, $ \mathbb{Q} $ est dénombrable à l'infini.
Dans ce cas là, on se demande quelle est la topologie $ \mathcal{T} $ la moins fine et non grossière, sur $ \mathbb{Q} $ telle que, $ \mathcal{C}_0 ( \mathbb{Q} ) \supset \mathcal{F}_0 ( \mathbb{Q} ) = \mathbb{C}^{ ( \mathbb{Q} ) } $.
On a, $ \mathcal{C}_0 ( \mathbb{Q} ) = \mathcal{C}_0 ( \coprod_{ q \in \mathbb{Q} } \{ q \} ) = \bigoplus_{ q \in \mathbb{Q} } \mathcal{C}_0 ( \{ q \} ) = \bigoplus_{ q \in \mathbb{Q} } \mathbb{C} = \mathbb{C}^{ ( \mathbb{Q} ) } $.
Bref, ici, quant $ \mathbb{Q} $ est un espace topologique discret, sa topologie $ \mathcal{T} $ est indépendante de celle de $ \mathbb{R} $ ( C'est un objet universel, comme lorsqu'on parle
de variétés algébriques abstraites qui ne dépendent pas d'un plongement ).
$ \mathcal{T} $ dépend uniquement de la topologie $ \mathcal{T}_{q} $ de ces singletons, $ \{ q \} $, et de la somme disjointe $ \coprod $ ( $ \mathcal{T} $ est obtenu en prenant la limite inductive
des topologies $ \mathcal{T}_{q} $ des singletons $ \{q\} $ de $ \mathbb{Q} $ ).
Et on sait que $ \mathcal{C}_0 ( ( \{ q \} , \mathcal{T}_q ) ) = \mathbb{C} $. On a ainsi, $ \mathcal{C}_0 ( \mathbb{Q} ) =.\mathbb{C}^{ ( \mathbb{Q} ) } $.
Est ce que vous êtes d'accord JLT ?
Pourquoi faudrait-il que $f_{|\mathbb{Q} \backslash K} = 0$ pour un certain compact $K$ ?
Ne faut-il pas -d'après la définition- que pour tout $\varepsilon>0$, il existe un compact $K$ tel que $\left\vert f\right\vert <\varepsilon$ sur $\mathbb{Q} \setminus K$ ?
... parce que $ \mathbb{Q} $ est supposé à priori un espace topologique non discret, et à fortiori non dénombrable à l'infini, donc, il n'est pas engendré par des compacts.
Au début le fil partait plutôt bien. Pablo a rappelé la définition de "nul à l'infini", cette définition a du sens, et Zig a répondu à la question. Puis Pablo a prononcé le mot "assez" et à partir de là le fil a sombré dans le jus de boudin auquel on pouvait s'attendre de la part de cet auteur. Chassez le naturel, il revient à Pablo ; c'est ça l'expression ? (:P)
Ne serait-ce pas la même chose qu’un espace $\sigma$-compact ?
Soit $ X $ a proper $ G $-space. A-t-on, $$
C_0 ( G \setminus X ) \simeq C_0 ( X )^G \quad
?
$$ Je précise que $$
C_0 ( X )^G = \{ \ f \in C_0 (X) \mid f(g^{-1}x) = f(x), \ \forall (g,x) \in G \times X \ \} .
$$ Je précise aussi que, $ C_0 ( G \setminus X ) $ est l'espace des fonctions définies sur l'espace des orbites $ G \setminus X $ de $ X $ par l'action propre de $ G $ sur $ X $, continues et tendant vers $ 0 $ à l'infini.
Merci d'avance.
[$\LaTeX$ fournit la commande \setminus qui gère les espacements.
Exemple : G \setminus X donne $G \setminus X$ (au lieu de \backslash qui donne $G\backslash X$). AD]
Une $ G $ - $ C^*$ algèbre $ A $, est par définition, une $ C^* $ - algèbre, munie d'une action continue par automorphismes, $ G \times A \to A $.
D'où, l'action $ G \times A \to A $ s'identifie, au morphisme, $ G \to \mathrm{Aut} ( A ) $.
Est ce que, $ \mathrm{Aut} ( A ) $ est aussi, une $ C^* $ - algèbres ?
Merci d'avance.
N.B. : Je tiens à remercier AD pour sa veille à la correction du Latex en permanent. Merci AD ;-)
[À ton service :-) AD]