Partie de C(X,Y) équicontinue

Une partie infinie peut être équicontinue. Par exemple l'ensemble des fonctions constantes de $X$ dans $Y$ est équicontinu, et cet ensemble est infini si $Y$ est infini.

Ton bouquin doit probablement donner d'autres contraintes sur $X$, $Y$...

Bonjour,
En pratique, on a souvent équicontinuité quand on donne une contrainte d'uniforme continuité quantifiée. Par exemple, l'ensemble des fonctions $k$-lipschitziennes (vérifiant $\forall (x,y), d(f(x),f(y))\leqslant k\cdot d(x,y)$) pour un $k$ fixé est équicontinu. Autre exemple avec les fonctions hölderiennes de paramètres $(\alpha,k)$ (vérifiant $\forall (x,y), d(f(x),f(y))\leqslant k\cdot d(x,y)^\alpha$) pour un couple $(\alpha,k)$ fixé.
En revanche, quand on donne une contrainte qualitative de régularité, on obtient rarement un ensemble équicontinu. Exemples : l'ensemble des fonctions lipschitziennes (de paramètre $k$ libre) et l'ensemble des fonctions $\Bbb R\to\Bbb R$ dérivables ne sont pas équicontinus.

PS: J'ai pris $X$ métrique.