Image d'un intervalle et base de Hamel
Bonjour,
J'ai rencontré un exercice sur quelques propriétés topologiques d'une base de Hamel $\left(e_{i}\right)_{i \in I}$ de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{Q}$ .
Il y est affirmé que si $J$ est un intervalle non vide de de $\mathbb{R}$ et si $\lambda_{i}$ est la forme coordonnée associée au vecteur $e_{i}$ alors l'image $\lambda_{i}(J)$ est un ensemble non borné et dense dans $\mathbb{R}$
Pour moi une base de Hamel rime avec base de cardinal non dénombrable et axiome du choix, ensemble de Vitali en théorie de la mesure et équation fonctionnelle "f(x+y) = f(x) + f(y)"; je sais également que les fonctions coordonnées ne sont pas continues et que leurs noyaux sont des hyperplans denses dans $\mathbb{R}$ non Lebesgue mesurables.
Je n'ai pas d'idée de départ et la toile est muette sur la question aussi toute indication serait la bienvenue.:-)
J'ai rencontré un exercice sur quelques propriétés topologiques d'une base de Hamel $\left(e_{i}\right)_{i \in I}$ de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{Q}$ .
Il y est affirmé que si $J$ est un intervalle non vide de de $\mathbb{R}$ et si $\lambda_{i}$ est la forme coordonnée associée au vecteur $e_{i}$ alors l'image $\lambda_{i}(J)$ est un ensemble non borné et dense dans $\mathbb{R}$
Pour moi une base de Hamel rime avec base de cardinal non dénombrable et axiome du choix, ensemble de Vitali en théorie de la mesure et équation fonctionnelle "f(x+y) = f(x) + f(y)"; je sais également que les fonctions coordonnées ne sont pas continues et que leurs noyaux sont des hyperplans denses dans $\mathbb{R}$ non Lebesgue mesurables.
Je n'ai pas d'idée de départ et la toile est muette sur la question aussi toute indication serait la bienvenue.:-)
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Réponses
@modérateurs:est-il possible s'il vous plaît de transférer ce fil dans la rubrique topologie ? Merci d'avance.
[Voilà. :-) AD]
Si $J$ est un singleton, alors $\lambda_i(J)$ aussi.
Supposons que $J$ n'est ni vide, ni un singleton. Soit un indice $j$ différent de $i$. Alors $\lambda_i(\Bbb Q e_i+\Bbb Qe_j)=\Bbb Q$. Pour le montrer, se donner un rationnel $r$, prendre $x$ dans l'intérieur de $J$ et choisir un rationnel $s$ tel que $re_i+se_j \approx x$. Ainsi, $re_i+se_j\in J$ et $r\in \lambda_i(J)$.
$ au lieu de $r\in\lambda_i(J)$.
Le raisonnement reste quant à lui pertinent puisque le caractère dense et non borné de l'image de l'intervalle J découle de l'existence de ce sous-ensemble de l'image qui est lui-même non borné et dense.
Merci pour ces explications limpides