Espace métrique versus e.v.n.

Bonjour
Les subtilités entre un espace métrique et un espace vectoriel normé (e.v.n.) semblant nombreuses, pouvez-vous m'en donner ? Cela peut être des différences futiles ou fondamentales, je n'ai pas peur de l'exhaustivité et ce n'est pas grave si certaines sont des cas particuliers d'autres.
J'éditerai ensuite ce message afin de toutes les lister et j'essaierai de toutes les justifier (i.e. une démonstration si ça n'est pas évident et surtout donner un contre-exemple illustrant la distinction). Je commence par donner certaines que j'ai répertoriées.
1) Un e.v.n. est un cas particulier d'espace métrique mais la réciproque est fausse.

2) Dans l'axiome de séparation des points d'une norme (i.e. $\forall x\in E,\ N(x)=0\implies x=0_E$), on n'a pas besoin du sens $\impliedby$ (bien que cette implication réciproque soit vraie) tandis que pour une distance, une équivalence est nécessaire.

3) Soient $d$ et $\delta$ deux distances sur un ensemble $E$. On a ($d$ et $\delta$ équivalentes) $\implies$ ($d$ et $\delta$ uniformément équivalentes) $\implies$ ($d$ et $\delta$ topologiquement équivalentes) et chacune des implications réciproques est fausse. Cependant, pour des normes, ces notions sont confondues. ("équivalentes" abrège "lipschitz-équivalentes")

4) Dans un espace métrique, l'adhérence d'une boule ouverte est contenue dans la boule fermée de même centre et de même rayon. De plus, l'inclusion peut être stricte tandis que dans un e.v.n. il y a égalité.

5) Dans un espace métrique, l'intérieur d'une boule fermée contient la boule ouverte de même centre et de même rayon. De plus, l'inclusion peut être stricte tandis que dans un e.v.n. il y a égalité.

6) Un e.v.n. est connexe par arcs mais ce n'est pas toujours le cas pour un espace métrique.

7) Un e.v.n. non réduit à $\{0\}$ n'est pas borné mais un espace métrique peut être borné.

8) Dans un e.v.n. non réduit à $\{0\}$, le diamètre d'une boule (ouverte ou fermée) est égal au double de son rayon tandis que dans un espace métrique, le diamètre peut être strictement inférieur au double de son rayon.

9) Dans un e.v.n. $E$, toutes les boules ouvertes sont homéomorphes à $E$. Par contre, dans un espace métrique, cette situation peut ne pas se produire.

10) Dans un e.v.n., toute boule a un unique centre mais dans un espace métrique une boule peut avoir plusieurs centres.

11) Dans un e.v.n. $E$, pour tout $(a,b)\in E^2$, il existe un homéomorphisme $f$ de $E$ sur lui même tel que $f(a)=b$. Toutefois, cette situation peut ne pas se produire dans un espace métrique.

12) (Théorème d'Arens-Eells) Tout espace métrique est isométrique à un fermé d'un e.v.n.

13) Pour tout espace métrique $(E,d)$, il existe une distance $\delta$ bornée sur $E$ et topologiquement équivalente à $d$. Par contre, cette situation ne se produit pas pour un e.v.n. non réduit à $\{0\}$.