Intérieur/adhérence et homéomorphisme
Bonjour,
J'ai lu que les notions d'intérieur et d'adhérence sont conservées par homéomorphisme. Pouvez-vous m'indiquer ce que cela signifie en énoncé mathématique ?
Par exemple, je sais que la compacité et la connexité ou le fait d'être de Baire sont conservées par homéomorphisme et cela peut s'énoncer ainsi :
Soit $f:E\rightarrow F$ un homéomorphisme. Si $A$ est compact (resp. connexe, de Baire) alors $f(A)$ est compact (resp. connexe, de Baire).
Par contre, je ne vois pas comment formaliser ça pour les notions d'intérieur et d'adhérence car ces dernières sont relatives à quelque chose d'autre : un espace n'est pas "intérieur" tout court. D'ailleurs, j'imagine que la question concerne d'abord la notion de "point intérieur / point adhérent à une partie" avant celle plus générale d'"intérieur / adhérence d'une partie".
Merci par avance.
J'ai lu que les notions d'intérieur et d'adhérence sont conservées par homéomorphisme. Pouvez-vous m'indiquer ce que cela signifie en énoncé mathématique ?
Par exemple, je sais que la compacité et la connexité ou le fait d'être de Baire sont conservées par homéomorphisme et cela peut s'énoncer ainsi :
Soit $f:E\rightarrow F$ un homéomorphisme. Si $A$ est compact (resp. connexe, de Baire) alors $f(A)$ est compact (resp. connexe, de Baire).
Par contre, je ne vois pas comment formaliser ça pour les notions d'intérieur et d'adhérence car ces dernières sont relatives à quelque chose d'autre : un espace n'est pas "intérieur" tout court. D'ailleurs, j'imagine que la question concerne d'abord la notion de "point intérieur / point adhérent à une partie" avant celle plus générale d'"intérieur / adhérence d'une partie".
Merci par avance.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Comme la notion d'intérieur concerne deux sous-ensembles, la conservation concernera les images de ces sous-ensembles.
En analogue : en géométrie plane, les isométries conservent le parallélisme. Cela veut dire que si deux droites sont parallèles, leurs images sont parallèles.
Cordialement.
Autrement dit, si $f$ est un homéomorphisme et $A$ est inclus dans l'ensemble de départ, alors $f(\overline A)=\overline{f(A)}$ et $f(\mathring A)=\overbrace{f(A)}^{\circ}$.