Limite inductive d'ev topologiques
Bonjour,
Soit $((E_n,{\cal T}_n))_{n\in\Bbb N}$ une famille d'espaces vectoriels topologiques localement convexes (evtlc) telle que, pour tout $n$, $E_n\subset E_{n+1}$ et ${\cal T}_{n+1}|_{E_n}={\cal T}_n$. On pose $E = \bigcup_{n\in\Bbb N} E_n$ et ${\cal P}$ l'ensemble des semi-normes sur $E$ dont la restriction à chaque $E_n$ est continue pour ${\cal T}_n$. On munit $E$ de la topologie d'evtlc $\cal T$ induite par $\cal P$. Ainsi, $(E,\cal T)$ est la limite inductive de $((E_n,{\cal T}_n))_n$ dans la catégorie des evtlc.
Soit $((E_n,{\cal T}_n))_{n\in\Bbb N}$ une famille d'espaces vectoriels topologiques localement convexes (evtlc) telle que, pour tout $n$, $E_n\subset E_{n+1}$ et ${\cal T}_{n+1}|_{E_n}={\cal T}_n$. On pose $E = \bigcup_{n\in\Bbb N} E_n$ et ${\cal P}$ l'ensemble des semi-normes sur $E$ dont la restriction à chaque $E_n$ est continue pour ${\cal T}_n$. On munit $E$ de la topologie d'evtlc $\cal T$ induite par $\cal P$. Ainsi, $(E,\cal T)$ est la limite inductive de $((E_n,{\cal T}_n))_n$ dans la catégorie des evtlc.
$(E,\cal T)$ coïncide-t-elle avec la limite inductive de $((E_n,{\cal T}_n))_n$ dans la catégorie des espaces topologiques ?
Je note $(E,\cal T')$ la limite inductive dans $\bf Top$ (l'ensemble sous-jacent est bien $E$). L'inclusion $\cal T\subset T'$ est claire et le problème est d'établir $\cal T'\subset T$. Au cas où ce serait utile, j'ai à ma disposition les lemmes suivants :
- Si $F$ est un sev de l'evtlc $G$ et $U$ est un ouvert convexe de $F$, alors il existe un ouvert convexe $V$ de $G$ tel que $U=V\cap F$.
- Si $C$ est un convexe de $E$ qui contient $0$, est symétrique et tel que $C\cap E_n$ est ouvert pour tout $n$, alors $C\in\cal T$.
- $\forall n\in\Bbb N, {\cal T}_{|E_n} = {\cal T}_n$.
Réponses
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Merci raoul, j'imaginais que c'était faux mais je n'avais pas d'exemple.
(bien sûr Bourbaki s'exprime avec des "topologies fines" etc. ce qui rend la chose rapidement illisible mais en faisant un effort on voit bien ce que ça signifie) -
raoul : ce n'était ni une blague ni une référence à un autre fil - je n'ai sincèrement jamais retenu ce que "topologie plus/moins fine" voulait dire et je dois toujours aller regarder en ligne pour trouver la définition; et je n'ai jamais compris l'intérêt de dire les choses de cette manière.
Cela dit en écrivant je me suis demandé si tu allais le comprendre comme ça :-D -
Merci beaucoup Raoul. :-)
Je n'arrive pas à faire la quesion $\gamma)$. Une idée ?
[small]PS: Personnellement, je m'y retrouve bien avec les histoires de finesse des topologies, même si c'était compliqué au début.[/small] -
J'essaie :
on note $e_n$ l'élément de $\mathbb{R}^{(\mathbb{N})}$ ayant des zéros partout et un 1 à l'indice $n$. Etant donné que $V$ est absorbant, pour tout $n\geq 1$, il existe $\lambda_n>0$ tel que $\lambda_n e_n \in V$.
Notons $B_r$ la boule de $E_0$ de centre $0$ et de rayon $r>0$.
Si $B_r\subset V$ alors pour tout $x\in B_r$ et tout $n\geq 1$, $1/2x+1/2\lambda_n e_n\in V$ par convexité de $V$.
Donc par définition de $U$, $1/2 \lambda_n< f_{1/n}(1/2x)$.
Remarquons que la suite $(f_{1/n}(1/2x))_{n\geq 1}$ est stationnaire de limite $1/2q(x)$. Donc dès que $n$ est assez grand (indépendamment de $x\in B_r$), $\lambda_n < q(x)$. Mais on peut toujours trouver $x\in B_r$ tel que $q(x)$ soit aussi petit que l'on désire, ce qui contredit l'inégalité précédente.
Donc $B_r \not\subset E_0$.
Pas sûr que ce soit correct, j'ai l'esprit un peu engourdi ce matin... -
Merci Raoul ! Ça m'a l'air bon. :-)
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Soient $\Omega$ un ouvert de $\Bbb R^d$, $\mathcal{D} (\Omega)$ l'espace des fonction tests sur $\Omega$, $(K_n)$ une suite exhaustive de compacts de $ \Omega$ et $\mathcal{D} _{K_n}(\Omega)$ l'espace des fonctions tests à support dans $K_n$. Savez-vous si la topologie usuelle de $\mathcal{D} (\Omega)$ (limite inductive de $(\mathcal{D} _{K_n}(\Omega))_n$ dans les evtlc) coïncide avec la limite inductive de $(\mathcal{D} _{K_n}(\Omega))_n$ dans $\bf Top$ ?
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Juste parce que je passe, c'est vraiment un détail: "est-elle une" à la place de "coincide-t-elle avec la" me paraitrait plus "mathématiquement édifiant" pour les visiteurs, même si j'ai bien vu les intervenants ayant posté dont je sais que pas de souci pour eux.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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