Connexité du plan privé de contractiles

Merci pour vos réponses.


Maxtimax :
Je ne connaissais pas la dualité d'Alexander.
En me renseignant un peu, je suis tombé sur la version avec les nombres de Betti (où on ne s'intéresse qu'aux rangs des groupes d'homologie).
Si je ne me trompe pas, il suffirait d'avoir que le nombre de Betti de dimension 1 de $\bigcup\limits_{i = 1}^n X_i$ soit 0.
Cela semble vrai, mais j'aurais dit que c'était également le cas si les $X_i$ étaient seulement supposés simplement connexes compacts et deux à deux disjoints.
Or je crois qu'avec la simple connexité, mon assertion devient fausse (voir "cercle polonais" sur wikipedia, qui, si j'ai bien lu, est simplement connexe mais pas contractile, et où intuitivement, le plan privé de cet ensemble n'est pas connexe par arcs).
Donc je me trompe quelque part, mais je ne vois pas où. Un coup de main serait le bienvenu.


Seirios :
Qu'est-ce que tu appelles l'application de contraction ? Est-ce qu'elle serait plutôt définie sur $\mathbb{R}^2 \backslash \bigcup\limits_{i = 1}^n \{x_i\}$ (où les $x_i$ sont choisis comme points où chaque $X_i$ est contracté) ? Auquel cas est-ce que tu as mis des $/$ à la place des $\backslash$ ?
J'avais aussi eu l'idée de prendre un segment, et de contourner les $X_i$ là où ça les intersecte. Le problème est que je ne voyais pas comment définir rigoureusement cette application de contraction dont tu parles.
Je bloquais parce que les définitions me donnent l'impression que la contraction fait glisser les $X_i$ vers les $x_i$, et pas réellement que l'espace entier est froissé pour faire une réelle contraction (en espérant que ce soit compréhensible).


Mauricio :
J'ai aussi du mal avec ton point 1. En effet, l'hypothèse que les contractiles sont des compacts (de mon premier post) me semblait jouer un rôle important et je ne vois pas où elle apparaît dans ton raisonnement.
Par exemple, si on prend $X_1$ un cercle privé d'un point et $X_2$ ce point.
Alors $X_1 \cup X_2$ est un cercle, donc $\mathbb{R}^2 \backslash \{ X_1 \cup X_2\}$ n'est pas connexe par arcs.
Pourtant $X_1$ et $X_2$ sont des contractiles disjoints.

Ok, j'essaye d'écrire une preuve complète, merci de m'indiquer s'il y a un problème.

On montre le résultat par récurrence sur $n$. On a $X_1$ connexe, donc le théorème d'Hurewicz donne $H_1(X_1) \simeq \pi_1(X_1) = \{ 0 \}$, d'où le cas $n=1$.
Soient $A = \bigcup\limits_{i = 1}^n X_i$ et $B = X_{n+1}$, qui sont deux ouverts de $\bigcup\limits_{i = 1}^{n+1} X_i$.
On a donc $A \cap B = \emptyset$ et $A \cup B = \bigcup\limits_{i = 1}^{n+1} X_i$.
Par le théorème de Mayer-Vietoris, la suite suivante est exacte :

$H_1(\emptyset) \rightarrow H_1(\bigcup\limits_{i = 1}^n X_i) \oplus H_1(X_{n+1}) \rightarrow H_1(\bigcup\limits_{i=1}^{n+1} X_i) \rightarrow H_0(\emptyset)$

Par récurrence, on peut écrire $0 \rightarrow H_1(\bigcup\limits_{i=1}^{n+1} X_i) \rightarrow 0$.
Finalement, on a $H_1(\bigcup\limits_{i=1}^{n+1} X_i) = \{ 0 \}$.
D'où par dualité d'Alexander : $H_0(\mathbb{R}^2 \backslash \bigcup\limits_{i=1}^{n+1} X_i) \simeq \mathbb{Z}$. C'est-à-dire $\mathbb{R}^2 \backslash \bigcup\limits_{i=1}^{n+1} X_i$ est connexe par arcs.

Comme l'a très bien dit Maxtimax :

Maxtimax écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,2092108,2092544#msg-2092544
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

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Dans la dernière ligne de mon dernier post, j'utilise l'énoncé :
Soit $X$ un compact localement contractile de $\mathbb{R}^2$ alors $H_1(X) \oplus \mathbb{Z} \simeq H_0(\mathbb{R}^2 \backslash X),\ $
avec $X = \bigcup_{i=1}^n X_i$.