Construction d'un ensemble non borélien

Non, ce n'est pas possible, en tout cas dans ZF.

Par exemple, il existe des modèles de ZF dans lesquels $\mathbb R$ est une union dénombrable de sous-ensembles dénombrables. À partir de là, tout sous-ensemble de $\mathbb R$ est borélien.

Après, "évidemment", l'entièreté de AC n'est pas nécessaire. Tu peux par exemple (je crois, mais il est tard et je n'ai plus la construction en tête) en prouver l'existence avec juste l'existence d'un ulrafiltre non principal sur $\mathbb N$ ou des choses du genre (ou avec un axiome du choix indexé par $\omega_1$).

Pour prouver ça, tu utilises forcément quelque chose qui n'est pas dans ZF, typiquement l'axiome du choix dénombrable

@raoul.S : je pense qu'il faut tout de même l'axiome du choix dénombrable pour ce dont je parle dans l'autre fil, ça ne contredit donc pas ce que dit Maxtimax.

@Magnus : justement, tu ne peux pas déduire de "$\mathbb R$ est réunion dénombrable d'ensembles dénombrables" que $\mathbb R$ est dénombrable (et donc que $\lambda(\mathbb R)=0$) sans un peu de choix.

Hum oui effectivement. Alors ce doit être dans le fait que l'on puisse étendre la fonction longueur d'intervalle à la tribu borélienne que l'on doit utiliser un peu de choix.

Et sinon vous comprenez cette phrase de cc : "Par exemple, l'ensemble des parties de $\Q$ qui sont bien ordonnées n'est pas borélien" ?

Poirot : Je pense avoir trouvé au moins un endroit où on utilise l'axiome du choix dénombrable dans la preuve de l'existence de la mesure de Lebesgue. C'est quand on montre que $$\lambda^*(A) := \inf\left\{ \sum_{k\in\Bbb N} (b_k-a_k) , A\subset \bigcup_{k\in\Bbb N} ]a_k,b_k[\right\}$$ est une mesure extérieure. On a une suite $A_n$ d'ensembles et on doit choisir pour chacun une suite d'intervalles $]a_{n,k},b_{n,k}[$ qui réalise à $\varepsilon/2^n$ l'inf qui définit $\lambda^*(A_n)$.

L'exemple me parait bizarre, la preuve qu'il est non borélien implique certainement une forme d'AC : comme on l'a dit il est cohérent que tout soit borélien

NB: dans un post récent, christophe c avait à nouveau évoqué une fonction de $\N^{\N}$ dans l'ensemble des boréliens, définie par une récurrence un peu inhabituelle (mais justifiable; je retrouverai le lien).
En fait il suffit de l'axiome du choix dénombrable pour montrer que l'image de cette fonction (qui contient les intervalles d'extrémités rationnelles et est stable par passage au complémentaire)est une tribu et donc que la fonction en question est surjective. Comme (manipulations à base de Cantor-Bernstein) $\N^{\N}$ et $\R$ sont en bijection, on en déduit immédiatement l'existence de parties non boréliennes de $\R$ dans $ZF+ACdénombrable$.

BobbyJoe : je sais bien, mais dans un univers où $\R$ est réunion dénombrable d'ensembles dénombrables (ce qui est cohérent si ZF l'est), tout est borélien.

@BobbyJoe l'exemple de wiki que tu postes est le même (essentiellement) que celui que j'ai donné. C'est très robuste ces affaires-là.

- Boréliens

- ensemble des arbres bien fondés (co analytique non borélien, universel); ou son complémentaire.

etc

Je précise qu'il y a les degrés de Wadge qui ordonnent (et surtout qui bien-ordonné) totalement les ensembles "simples" (je rappelle que le mieux est de taffer dans $\R-\Q$ pour permettre des sauts aux fonctions continues).

L'archétype d'ensemble non borélien est l'ensemble A des arbres bien fondés (ie sans branche infinie).

Non seulement il n'est pas borélien, mais il est "minimum" à ne pas l'être dans le sens que tout autre ensemble B non borélien "non fabriqué exprès avec l'axiome du choix) est tel que A est image réciproque de B par une fonction continue bien choisie.

Dans la même veine, l'exemple que je donne souvent de surjection effective de $\R$ sur $B(\R)$, qui permet d'avoir des non boréliens C par astuce diagonale, et bien, pas de "magie", ces C sont "de la même complexité que A" et non pas strictement plus complexes.

Précision: l'ordre de Wadge est que un ensemble X est moins complexe qu'un ensemble Y quand X est image réciproque de Y ou de son complémentaire par une fonction continue.