@skyffer3 pour l'ensemble vide on peut encore comprendre que sa choque OShine mais pour $E$...
@OShine voici pourquoi l'ensemble vide est ouvert selon la définition de ton cours :
si tu réécris formellement cette définition en remplaçant $\Omega$ par $\emptyset$ tu obtiens ça $$\forall x (x\in \emptyset \Rightarrow \exists r>0, B_{x,r}\subset \emptyset)$$
où $B_{x,r}$ est la boule ouverte centrée en $x$ de rayon $r$.
Or quel que soit $x$, $x\in \emptyset$ est toujours faux ! Donc la formule logique ci-dessus est toujours vérifiée. Ce qui prouve que l'ensemble vide est ouvert.
PS. Je te rappelle que $A\Rightarrow B$ est vraie si $A$ est faux...
Oui mais j'aimerais m'en convaincre pour l'ensemble $E$.
En effet, la proposition "$\exists x \in \emptyset P(x)$ est fausse, donc "$\forall x \in \emptyset P(x)$ est toujours vraie, ce qui règle le cas de l'ensemble vide.
Pour le deuxième je ne comprends toujours pas. $E$ est un ouvert si pour tout $x \in E$ il existe $r>0$ et $\mathcal B_o(x,r)$ incluse dans $E$.
Pourquoi si je prends un élément $x \in E$, il existe une boule ouverte centrée en $x$ contenue dans $E$ ?
Pourquoi la boule ne sort pas de $E$ ?
J'applique la définition mais je ne vois toujours pas pourquoi c'est vrai.
Je vais pinailler mais je ne suis pas convaincu par cet argument :
« La définition nous dit qu'une boule ouverte est une partie de E donc E est un ouvert. C'est juste ça ? »
Peut-être faut-il justifier que pour tout $x$ de $E$ (considéré comme non vide), il existe une boule ouverte de centre $x$ (incluse dans $E$).
Réponses
Pourquoi faut-il te dire de faire ce que tu aurais dû faire directement ?
Qu'est-ce qu'on est censé répondre à ça ? C'est comme demander pourquoi $]0,1[$ est inclus dans $\Bbb R$.
Ça te choque ? Trouve moi une propriété et un élément de l'ensemble vide qui ne la vérifie pas 8-)
@OShine voici pourquoi l'ensemble vide est ouvert selon la définition de ton cours :
si tu réécris formellement cette définition en remplaçant $\Omega$ par $\emptyset$ tu obtiens ça $$\forall x (x\in \emptyset \Rightarrow \exists r>0, B_{x,r}\subset \emptyset)$$
où $B_{x,r}$ est la boule ouverte centrée en $x$ de rayon $r$.
Or quel que soit $x$, $x\in \emptyset$ est toujours faux ! Donc la formule logique ci-dessus est toujours vérifiée. Ce qui prouve que l'ensemble vide est ouvert.
PS. Je te rappelle que $A\Rightarrow B$ est vraie si $A$ est faux...
En effet, la proposition "$\exists x \in \emptyset P(x)$ est fausse, donc "$\forall x \in \emptyset P(x)$ est toujours vraie, ce qui règle le cas de l'ensemble vide.
Pour le deuxième je ne comprends toujours pas.
$E$ est un ouvert si pour tout $x \in E$ il existe $r>0$ et $\mathcal B_o(x,r)$ incluse dans $E$.
Pourquoi si je prends un élément $x \in E$, il existe une boule ouverte centrée en $x$ contenue dans $E$ ?
Pourquoi la boule ne sort pas de $E$ ?
J'applique la définition mais je ne vois toujours pas pourquoi c'est vrai.
Edit : même question que raoul.S.
La boule ouverte de centre $x$ et de rayon $r$.
Soit $(E,d)$ un espace métrique.
J'ai étudié la définition juste avant $B_o (x,r)= \{ y \in E \mid d(x,y) <r \} \subset E$
La définition nous dit qu'une boule ouverte est une partie de $E$ donc $E$ est un ouvert. C'est juste ça ?
Oui je reviens sur ces notions, car à l'époque je les avais survolées. J'apprenais sans vraiment comprendre.
Du coup c'est intéressant quand on comprend dans les détails.
« La définition nous dit qu'une boule ouverte est une partie de E donc E est un ouvert. C'est juste ça ? »
Peut-être faut-il justifier que pour tout $x$ de $E$ (considéré comme non vide), il existe une boule ouverte de centre $x$ (incluse dans $E$).