Une démo fausse de Q dense dans R?

arroyo · September 2020

Bonjour,
j'ai pensé à quelque chose en lisant mon cours de topologie, je suis sûr que c'est faux mais je me demande où.

Une partie $F$ d'un espace métrique $E$ est dense dans $E$ si son adhérence est égale à $E$. Je note $\bar{F}$ l'adhérence de $F$.
$x\in \bar{F} \Leftrightarrow d(x, F) = 0$.
Montrons que $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$.
$x \in \bar{\mathbb{Q}} \Leftrightarrow \inf_{y\in \mathbb{Q}}|x-y| = 0$
Il s'agit donc de montrer que pour tout réel $x$, on peut trouver un $y$ rationnel tel que $\inf(..) = 0$.
Posons $x = \sum_{n=0}^{\infty} x_n$ (développement décimal illimité?). On a donc une suite $(x_n)$ où $x_0 = \left \lfloor x \right \rfloor$ et les autres $x_n$ sont les décimales.
Soit $N \in \mathbb{N}$, si on pose $y = \sum_{n=0}^{N} x_n$, on aura le résultat voulu.
Donc $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$.

Alors pourquoi c'est faux svp :-D
Merci d'avance, bonne soirée !

Chalk · September 2020

Premier point, ça ne veut rien dire trouver UN rationnel $y$ tel que $inf_{y \in \Q} d(x,y) = 0$. À droite c'est une variable muette. Et puis l'inf est pris sur tous les rationnels et n'est atteint pour aucun rationnel en particulier. Tu cherches donc une suite de rationnels $y_n$, telle que $d(x,y_n) \to 0$.

Deuxième point, l'écriture décimale de $x$ n'est pas unique donc il faut préciser un choix, et puis il faut montrer qu'elle existe. Sinon ça revient à admettre que tout réel est limite d'une suite de nombres décimaux, donc d'une suite de rationnels, et le résultat devient trivial.

En soi l'idée de ta preuve marche parfaitement, et elle montrerait même que les décimaux sont denses dans $\mathbb R$, elle est juste mal rédigée, et pas si facile à écrire rigoureusement selon ce que tu es prêt à admettre sur les réels. Mais j'insiste, l'idée n'est pas fausse, bien au contraire.

zephir · September 2020

Bonsoir,
Ton raisonnement est bon à condition de :
1- remplacer $x = \sum_{n=0}^{\infty} x_n$ par $x = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac {x_n} {10^n}$
2- remplacer $y = \sum_{n=0}^{N} x_n$ par $y_N = \sum_{n=0}^{N} \dfrac {x_n} {10^n}\in \Q$.
et de conclure par $\inf_{y\in \Q}|x-y|\le \inf_{N\in \N}|x-y_N|$ ...je te laisse terminer.

edit : grillé par skyffer3

arroyo · September 2020

Avant toute chose: le message que j'avais écrit était bien sûr très brouillon, désolé pour ça. Par conséquent,

skyffer3: Je sais que ça ne veut rien dire pour l'inf, c'était juste "si on trouve un y tq d(x,y) = 0, alors inf = 0 car d est positive". Mais effectivement on cherchait plutôt une suite de rationnels, ça pour le coup je l'aurais mal rédigé si je l'avais fait donc merci. Pour ton deuxième point je ne le comprends pas, il me semblait avoir appris un jour que tout réel admettait un développement décimal illimité mais ma mémoire me joue peut-être des tours..

zephir: Oui pour l'écriture de $x$ et $y_n$ c'est bien à ça que je pensais mais j'ai omis le $10^{-n}$ dans mon message !

Merci beaucoup pour vos réponses, je suis assez surpris que ça fonctionne du coup.. les copains de prépa qui me parlaient de la preuve de la densité de Q dans R avaient l'air de parler de quelque chose de compliqué!

Bonne nuit!

Chalk · September 2020

Mon deuxième point c'est juste de dire que même si effectivement tout réel admet un développement décimal, ce développement n'est pas toujours unique donc tu ne peux pas parler de l'écriture décimale d'un réel comme si elle était unique. Il faut soit être un peu plus précis (l'écriture décimale propre est effectivement unique) ou alors simplement dire il existe une suite d'entiers xn telle que x = sum xn/10^n.

Et ensuite, ce qui est plus gênant, je disais qu'admettre cela est en soi beaucoup plus fort que ce que tu veux démontrer. Ce n'est pas interdit bien sûr, mais ce n'est pas très élégant.

Pour le dire plus clairement, si on me fait cette démonstration, mon premier réflexe c'est de demander de démontrer l'existence d'une écriture décimale. C'est pas très compliqué, mais c'est le nœud du problème, c'est embêtant de le passer sous silence.

Maxtimax · September 2020

Je suis d'accord avec skyffer3, et je pense que la preuve de tes "copains de prépa" a pour but de prouver ce résultat sans faire appel au préalable à l'écriture décimale
(Présumablement en utilisant la propriété archimédienne de $\mathbb R$, qui est celle qui fait tout marcher)

christophe c · October 2020

Au dela (voir msg de Zephir) de l'informalisme de l'argument, je trouve que la question de arroyo porte plus sur le "grand lexique" de ce qui est admis ou pas en CPGE (souvent connu des seuls profs, pas trop des élèves à ce niveau) qu'autre chose.

Donc à arroyo, en dehors de faute de rédaction ton argument est valable sauf pour des correcteurs de concours acariatres qui te dénieraient que les enfants voient un réel comme tu l'admets et non comme limite de rationnels. Compte-tenu des principes d'égalité de traitement dans les concours, je doute que ça existe.

Par contre, tu aurais dû écrire que N'IMPORTE écriture décimale blabla: on ne met pas entre parenthèses un truc qui mérite une quantification précise). Puis ajouté : et il en existe au moins une. Ca, par contre, ça coute très cher, me semble-t-il, sur les recrutements des GE.

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