Topologie limite inductive et holomorphie
dans Topologie
Bonjour,
Soit $F_1$ et $F_2$ deux fermés de $\mathbb{C}$ et $F_0=F_1 \cup F_2$.
Pour $i \in \{0,1,2\}$, on choisit une suite décroissante d'ouverts $(O_n^i)_{n \in \mathbb{N}}$ dont l'intersection est égale à $F_i$.
On note $H^{\infty}(O^i_n)$ l'espace des fonctions holomorphes bornées muni de la norme
$$\|f\|_{H^\infty(O_n^i)}=\sup_{z \in O^i_n} |f(z)|,
$$ (qui en fait un espace de Banach).
Finalement, on note $X_{F_i} := \bigcup_{n \in \mathbb{N}} H^{\infty}(O^i_n)$ et on munit cet espace vectoriel de la topologie limite inductive (des topologies des espaces $H^{\infty}(O^i_n)$).
Voici ma question : montrer que la topologie de $X_{F_0}$ est la topologie engendrée par les topologies induites sur $X_{F_0}$ par $X_{F_1}$ et $X_{F_2}$.
Une fois qu'on a bien posé les définitions, cela semble être un exercice élémentaire. Pourtant je bloque sur l'inclusion directe et j'en arrive à me demander si elle est vraie. Est-ce que quelqu'un a une idée ?
Soit $F_1$ et $F_2$ deux fermés de $\mathbb{C}$ et $F_0=F_1 \cup F_2$.
Pour $i \in \{0,1,2\}$, on choisit une suite décroissante d'ouverts $(O_n^i)_{n \in \mathbb{N}}$ dont l'intersection est égale à $F_i$.
On note $H^{\infty}(O^i_n)$ l'espace des fonctions holomorphes bornées muni de la norme
$$\|f\|_{H^\infty(O_n^i)}=\sup_{z \in O^i_n} |f(z)|,
$$ (qui en fait un espace de Banach).
Finalement, on note $X_{F_i} := \bigcup_{n \in \mathbb{N}} H^{\infty}(O^i_n)$ et on munit cet espace vectoriel de la topologie limite inductive (des topologies des espaces $H^{\infty}(O^i_n)$).
Voici ma question : montrer que la topologie de $X_{F_0}$ est la topologie engendrée par les topologies induites sur $X_{F_0}$ par $X_{F_1}$ et $X_{F_2}$.
Une fois qu'on a bien posé les définitions, cela semble être un exercice élémentaire. Pourtant je bloque sur l'inclusion directe et j'en arrive à me demander si elle est vraie. Est-ce que quelqu'un a une idée ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
À partir de maintenant, je risque de dire des bêtises. On doit pouvoir montrer que $X_{F_i}$ et sa topologie de limite inductive ne dépendent que de $F_i$ et pas des $O^i_n$. Si c'est bien le cas, on peut alors se ramèner au cas où les $O^i_n, i = 1, 2$, sont décroissants pour l'inclusion et à vérifier si ça fonctionne en prenant $O^0_n = O^1_n \cup O^2_n$. Par contre, si $F_1$ et $F_2$ ont une intersection non vide, on a $X_{F_0} \subsetneq X_{F_1} \cup X_{F_2}$ donc de quelle topologie induite parles-tu exactement ?
Oui, on montre facilement que la topologie limite inductive ne dépend pas de la suite $(O_n^0)$ donc on peut prendre $O^0_n = O^1_n \cup O^2_n$, c'est ce que j'ai fait pour le sens réciproque.
En prenant la définition du paragraphe précédent, on a $X_{F_0} \subset X_{F_1}$ et $X_{F_0} \subset X_{F_2}$. Donc je ne comprends pas ta question pour la topologie induite. En fait les injections sont les suivantes. On note
$$I_i : X_{F_0} \to X_{F_i}
$$ l'injection définie par : si $f \in H^\infty(O_n^1 \cup O_n^2)$ alors $I_i(f)=f_{|O^i_n}$.
Finalement, je pense avoir réussi à prouver l'inclusion manquante, je m'y prenais juste très mal. Je mets la preuve ici pour ceux qui sont intéressés.
Avant de commencer, quelques clarifications :
1) La topologie limite inductive sur $X_{F_i}$ est la topologie induite par la famille $\mathcal{P}_i$ de toutes les semi-normes $p$ telles que $p : H^\infty(O^i_n) \to \R_+$ est continue pour tout $n \in \N$.
2) La topologie engendrée par les topologies induites sur $X_{F_0}$ par $X_{F_1}$ et $X_{F_2}$ est la topologie engendrée par la famille de semi-normes
$$ {\mathcal{P}_1}_{|X_{F_0}} \cup {\mathcal{P}_2}_{|X_{F_0}}.
$$ Sens indirect : montrons que les semi-normes $ p \in {\mathcal{P}_1}_{|X_{F_0}} \cup {\mathcal{P}_2}_{|X_{F_0}}$ appartiennent à $\mathcal{P}_0$. Il suffit de traiter le cas où $p \in \mathcal{P}_1$, l'autre cas se traite de la même manière. Soit $n \in \mathbb{N}$. Par définition de $p$, il existe $C_n >0$ tel que
$$ p(f) \leq C_n \|f\|_{H^\infty(O_n^1)}, \ \forall f \in H^\infty(O_n^1).
$$ Donc pour tout $f \in H^\infty(O_n^1 \cup O_n^2)$, on a
$$p(f) \leq C_n \|f\|_{H^\infty(O_n^1)} \leq C_n \|f\|_{H^\infty(O_n^1 \cup O_n^2)},
$$ c'est-à-dire que $p$ est continue sur $H^\infty(O_n^1 \cup O_n^2)$.
Ainsi $p \in \mathcal{P}_0$.
Sens direct : Soit $p_0 \in \mathcal{P}_0$. Soit $n \in \mathbb{N}$.
Par définition de $p_0$, il existe $C'_n >0$ tel que
\begin{equation}
\label{p_0}
p_0(f) \leq C_n \|f\|_{H^\infty(O_n^1 \cup O_n^2)} , \quad \forall f \in H^\infty(O_n^1 \cup O_n^2).
\end{equation} Nous avons besoin du résultat préliminaire suivant :
La semi-norme $\rho : (X_{F_0}, {\mathcal{P}_1}_{|X_{F_0}} \cup {\mathcal{P}_2}_{|X_{F_0}}) \to \R_+$ définie par
$\rho(f) = C_n \|f\|_{H^\infty(O_n^1 \cup O_n^2)}$ pour $f \in H^\infty(O_n^1 \cup O_n^2)$, est continue.
Pour cela, il suffit d'écrire $\rho = \max (p_1 \circ I_1, \, p_2 \circ I_2)$ où on a noté $p_i : X_{F_i} \to \R_+$ la semi-norme définie par $p_i(f)= C_n \|f\|_{H^\infty(O_n^i)}$ pour $f \in H^\infty(O_n^i)$. Comme les projections $p_i$ sont clairement continues, $\rho$ est aussi continue.
L'inégalité \eqref{p_0} devient donc
$$p_0(f) \leq C_n \|f\|_{H^\infty(O_n^1 \cup O_n^2)} =\rho(f), \quad \forall f \in H^\infty(O_n^1 \cup O_n^2),
$$ ce qui signifie que $p_0 \leq \rho $ sur $X_{F_0}$. Donc $p_0$est également continue de $(X_{F_0}, {\mathcal{P}_1}_{|X_{F_0}} \cup {\mathcal{P}_2}_{|X_{F_0}})$ dans $\R_+$.
Tableau Blanc : Tant mieux si tu as trouvé. Pour l'avenir : tu aurais pu être plus explicite en présentant ton problème. Par exemple, j'ai pensé en te lisant que la "topologie limite inductive" était celle de la catégorie des espaces topologiques, alors que c'est celle des evt localement convexes que tu utilises. Les deux ne coïncident pas forcément (j'ai appris ça récemment grâce à ce forum).
Tu me l'apprends. J'avoue que je n'ai jamais utilisé que la topologie limite inductive d'evtlc et que le contexte me paraissait clair.