Contre-exemple à un résultat de fibration

omega
omega
dans Topologie
Bonjour

Le théorème de fibration d'Ehresman dit qu'une une submersion (de classe au moins $C^2$) surjective propre d'une variété différentielle connexe sur une autre est une fibration.

Je pense que ce n'est plus vrai si on suppose seulement que les fibres sont compactes au lieu de supposer l'application propre, mais je n'ai pas de contre-exemple qui me vienne.

Je cherche donc une submersion (de classe au moins $C^2$), surjective, de fibres compactes mais pas propre qui ne soit pas une fibration. Si quelqu'un a ça en magasin...
Merci !
Omega

Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    Il est un peu plus fort que ça, Ehresmann, il dit que c'est une fibration localement triviale (j'ai dû revérifier pour en avoir le cœur net mais c'est bien ça).

    Tu cherches un contre-exemple à ça, ou à fibration tout court ? (j'avoue que je n'y ai pas réfléchi donc je ne sais pas si des contre-exemples seraient si différents que ça)

    Par ailleurs, aurais-tu déjà sous la main un exemple de submersion surjective (au moins $C^2$) qui ne soit pas propre mais dont les fibres soient compactes ? En fait, ça me semble un peu équivalent : si on en trouve une comme ça, elle ne peut pas vérifier le théorème d'Ehresmann (exercice qui est correct si je ne m'abuse: un fibration localement triviale à fibres compactes est propre); et inversement si elle ne vérifie pas le théorème d'Ehresmann, elle doit être comme ça.

    Bon en fait maintenant que je l'écris comme ça je me souviens que c'est impossible lorsque $f$ est fermée, j'avais fait un exo de ce type en géométrie différentielle (mais c'était un exo de topologie en fait). cf ici par exemple.

    Il faut donc chercher du côté d'applications non fermées (en fait, à nouveau je crois que ce sera équivalent : si $f$ n'est pas fermée, elle n'est pas propre, etc.). Des exemples donc de submersions surjectives non fermées à fibres compactes. Je n'en ai pas en tête mais peut-être que sous cette forme ce sera plus simple (voire plus simple à interdire)
  • marco
    marco
    Si on choisit $\pi>\epsilon>0$ et $V=]0, 2\pi+ \epsilon [$, et $W=U(1)$, et $f$ de $V$ dans $W$ qui à $t \in V$ associe $e^{it}$, alors l'image réciproque d'un point est un compact, mais $f$ n'est pas propre. Est-ce que $f$ est une fibration ? Je n'ai pas compris la définition de fibration en regardant Wikipédia.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    marco: d'après l'exercice que j'ai mentionné, puisque $f$ n'est pas propre, non (enfin, à nouveau, si on parle bien de fibration localement triviale).

    On peut ici le voir explicitement avec les voisinages de $1$ dans $S^1$: $1$ n'a qu'un seul antécédent ($2\pi$) mais tout voisinage de $1$ contient des éléments qui ont deux antécédents (les gens de la forme $e^{i\delta}$ pour $0<\delta < \epsilon$), or la fibre est localement constante dans une fibration localement triviale.

    Elle n'est pas propre et elle n'est donc pas fermée non plus, comme on peut le voir avec l'image de $]0, x]$ pour tout $x$
  • Calli
    Calli
    Bonsoir,
    C'est quoi pour vous une fibration ? Je croyais que c'était une submersion surjective. :-S
  • marco
    marco
    Merci, et est-ce que $f$ est une fibration de Hurewicz ?
  • Maxtimax
    Maxtimax
    marco: non; on peut prouver similairement (mais c'est moins facile) que les fibres d'une fibration de Hurewicz sont localement homotopiquement équivalentes; or il est bien connu que $2$ et $1$ ne sont pas homotopiquement équivalents :-D

    Ce n'est d'ailleurs pas une fibration de Serre pour la même raison

    Calli : "fibration" est un mot un peu pénible parce qu'il change de sens selon la personne à qui tu parles.

    Dans le théorème d'Ehresmann, on parle de fibration localement triviale, c'est-à-dire une flèche $p: X\to Y$ telle que localement, on ait $p^{-1}(U)\cong U\times F$ au-dessus de $U$.

    On entend aussi parler de fibration de Hurewicz/Serre, qui sont des notions fortement liées à la théorie de l'homotopie et à la topologie algébrique (même si en un certain sens, "être une fibration de Hurewicz/Serre" ne contient pas d'information homotopique à proprement parler)

    Il me semble que j'ai aussi déjà entendu "fibration" pour "submersion surjective", mais je ne sais plus dans quel contexte. Pas dans celui-ci en tout cas ;-)
  • marco
    marco
    Merci Maxtimax.
  • Calli
    Calli
    D'accord, merci Max.
  • omega
    omega
    Pour moi, par définition, une fibration, c'est localement trivial (définition du Godbillon).

    Pardon, je découvre seulement vos réponses, et n'ai encore rien eu le temps de lire à part la première phrase de Max.

    Je cherche donc bien un contrexemple à une fibration localement triviale.

    EDIT : ajout de sa majuscule à Max.
  • omega
    omega
    Désolée, je lis en diagonale vite, j'ai cours dans un quart d'heure.

    Pour max, oui : on a équivalence entre propre et (fibres compactes + fermée), donc oui, il faut chercher du côté du non fermé.

    EDIT : c'est ce que j'avais commencé à faire hier avant de poser ma question ici, mais ça ne m'avait pas aidée :-D
  • marco
    marco
    Je crois que la submersion définie dans mon premier message est un contre-exemple.
  • omega
    omega
    En effet marco ! Très bien vu, comme toujours ! Merci beaucoup !
  • omega
    omega
    Voilà, j'ai plus de temps, et j'ai pu lire vos réponses.

    Merci à tous de vous être intéressés à la question.

    Merci à marco pour son contrexemple qui répond à ma question.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 5

zeste +4 Invités