Théorème de Banach-Steinhaus

Deux remarques : l'énoncé que tu fournis (qui me semble provenir de l'excellent cours d'analyse fonctionnelle de Daniel Li), ne nécessite pas que $F$ soit de Banach. L'autre remarque c'est que ce n'est pas le théorème de Banach-Steinhaus qu'il faut utiliser mais le théorème d'isomorphisme de Banach, qui dit qu'une bijection continue entre deux Banach est un homéomorphisme. Si tu n'en as pas entendu parler, c'est une conséquence du théorème de l'application ouverte.

Pour ton problème, tu peux considérer l'application identité de $E$ dans lui-même. Dire que tes normes $N_1$ et $N_2$ sont équivalentes c'est exactement dire que l'identité est continue de $(E, N_1) \to (E, N_2)$ et de $(E, N_2) \to (E, N_1)$. Il y a l'hypothèse que tes normes sont comparables, ce qui veut dire que l'une des deux applications ci-dessus est continue, et le théorème de Banach permet de conclure que les deux le sont.

Tu peux aussi prouver le TAO, il n'est pas du tout "méchant" à prouver. Il y a juste un effort à faire de soin, pour éviter d'être bloqué sur l'adhérence sans pouvoir passer à l'intérieur. La façon de procéder est la même que dans le théorème de Riesz, tu choisis bien $u$ puis tu regardes

$$ u_1 + u_2/10 + u_3/100 + \dots $$

Autrement dit, tu utilises une fois Baire et une fois la complétude sans évoquer Baire.