Continuité, et application ouverte

Bonjour à tous,
J'ai besoin de conseils, je ne dors plus.
Plus sérieusement, je suis fasciné par ces trois propriétés :
Soit $f$ une application de $(X, T_X)$ dans $(Y, T_Y)$

$f$ est fermée $\Leftrightarrow \forall A \subset X,\ \overline {f(A)} \subset f(\overline A)$
$f$ est ouverte $\Leftrightarrow \forall A \subset X,\ f(\mathring A) \subset \mathring {\overbrace{f(A)}}$

$f$ est continue $\Leftrightarrow \forall A \subset X,\ f(\overline A) \subset \overline {f(A)}$

C'est tellement esthétique et inattendu, je refais les preuves régulièrement tant ces propriétés me fascinent. Mais j'ai l'impression qu'il en manque une. Rien à faire je cherche désespérement à combler ce vide :
$\forall A \subset X,\ \mathring {\overbrace{f(A)}} \subset f(\mathring A) \Leftrightarrow$ ???

Les fonctions vérifiant $\forall A \subset X,\ \mathring {\overbrace{f(A)}} \subset f(\mathring A)$ ont-elles quelque chose d'intéressant ?
C'est donc un conseil que je vous demande : est-ce que ça vaut la peine que je cherche encore ou est-ce que je ferais mieux d'oublier définitivement ?
Je sais que c'est une question un peu étrange mais un avis extérieur, de la part de mathématiciens beaucoup plus chevronnés que moi, m'aiderait beaucoup à faire le deuil de l'idée de donner un sens à cette propriété.
Merci d'avance,
celastus