Continuité, et application ouverte
Bonjour à tous,
J'ai besoin de conseils, je ne dors plus.
Plus sérieusement, je suis fasciné par ces trois propriétés :
Soit $f$ une application de $(X, T_X)$ dans $(Y, T_Y)$
$f$ est fermée $\Leftrightarrow \forall A \subset X,\ \overline {f(A)} \subset f(\overline A)$
$f$ est ouverte $\Leftrightarrow \forall A \subset X,\ f(\mathring A) \subset \mathring {\overbrace{f(A)}}$
$f$ est continue $\Leftrightarrow \forall A \subset X,\ f(\overline A) \subset \overline {f(A)}$
C'est tellement esthétique et inattendu, je refais les preuves régulièrement tant ces propriétés me fascinent. Mais j'ai l'impression qu'il en manque une. Rien à faire je cherche désespérement à combler ce vide :
$\forall A \subset X,\ \mathring {\overbrace{f(A)}} \subset f(\mathring A) \Leftrightarrow$ ???
Les fonctions vérifiant $\forall A \subset X,\ \mathring {\overbrace{f(A)}} \subset f(\mathring A)$ ont-elles quelque chose d'intéressant ?
C'est donc un conseil que je vous demande : est-ce que ça vaut la peine que je cherche encore ou est-ce que je ferais mieux d'oublier définitivement ?
Je sais que c'est une question un peu étrange mais un avis extérieur, de la part de mathématiciens beaucoup plus chevronnés que moi, m'aiderait beaucoup à faire le deuil de l'idée de donner un sens à cette propriété.
Merci d'avance,
celastus
J'ai besoin de conseils, je ne dors plus.
Plus sérieusement, je suis fasciné par ces trois propriétés :
Soit $f$ une application de $(X, T_X)$ dans $(Y, T_Y)$
$f$ est fermée $\Leftrightarrow \forall A \subset X,\ \overline {f(A)} \subset f(\overline A)$
$f$ est ouverte $\Leftrightarrow \forall A \subset X,\ f(\mathring A) \subset \mathring {\overbrace{f(A)}}$
$f$ est continue $\Leftrightarrow \forall A \subset X,\ f(\overline A) \subset \overline {f(A)}$
C'est tellement esthétique et inattendu, je refais les preuves régulièrement tant ces propriétés me fascinent. Mais j'ai l'impression qu'il en manque une. Rien à faire je cherche désespérement à combler ce vide :
$\forall A \subset X,\ \mathring {\overbrace{f(A)}} \subset f(\mathring A) \Leftrightarrow$ ???
Les fonctions vérifiant $\forall A \subset X,\ \mathring {\overbrace{f(A)}} \subset f(\mathring A)$ ont-elles quelque chose d'intéressant ?
C'est donc un conseil que je vous demande : est-ce que ça vaut la peine que je cherche encore ou est-ce que je ferais mieux d'oublier définitivement ?
Je sais que c'est une question un peu étrange mais un avis extérieur, de la part de mathématiciens beaucoup plus chevronnés que moi, m'aiderait beaucoup à faire le deuil de l'idée de donner un sens à cette propriété.
Merci d'avance,
celastus
Réponses
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Il semble qu'on ne puisse pas en tirer grand-chose. Si on prend une fonction dont toutes les images directes sont d'intérieur vide, alors elle vérifie automatiquement ta condition. Par exemple toute fonction de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ à valeurs dans $\mathbb Q$ vérifie ta condition, mais elles sont rarement continus, fermées ou ouvertes.
-
En effet, eh bien c'est très gentil, et je vais garder précieusement cet exemple sous le coude !
Bon week-end,
celastus -
Quand tu te poses une question comme ça, le mieux est de voir $f$ comme son graphe.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Bonjour!
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