Topologie initiale et atlas

Je n'ai jamais vu ces histoires d'atlas de classe $\mathcal C^0$, en général on définit une variété topologique directement avec sa topologie. Est-ce que ton atlas consiste en une famille $U_i$ de parties de $M$ et de fonctions $g_i : U_i \to \mathbb R^m$ ?

Si c'est le cas, tu construis ta topologie pour faire en sorte que tes $g_i$ soient des homéomorphismes, donc tu prends la topologie la plus économique rendant les $g_i$ continues : c'est exactement la topologie initiale associée aux $g_i$, c'est-à-dire la topologie engendrée par les $g_i^{-1}(O)$ avec $O$ ouvert de $\mathbb R^m$. Il est alors évident que les $U_i$ sont ouverts pour cette topologie, et que les $g_i$ sont des homéomorphismes de $U_i$ sur $g(U_i)$.

Mais justement, comme je ne sais pas ce qu'est un atlas $\mathcal C^0$ sans donner de topologie, je tente des choses. J'ai en tout cas oublié de prendre les $g_i$ injectives.

Est-ce qu'en fait on ne se donne pas des $g_i$ qui sont déjà des injections continues, et l'on cherche la topologie la moins fine les rendant des homéomorphismes ?

Ça me semble tenir la route, attendons de voir ce qu'Engel 10 en pense.

Soit $(X_i,\tau_i)_{i\in I}$ une famille d'espaces topologiques, $E$ un ensemble et $(g_i)_{i\in I}$ une famille de fonctions dont le domaine (noté $V_i$ dans la suite) est inclus dans $E$ et telles que pour tout $i\in I$, l'image de $g_i$ est un ouvert de $(X_i,\tau_i)$ et telle que pour tous $j,k\in I$, $g_j(V_j \cap V_k)$ et $g_k(V_j \cap V_k)$ sont des ouverts respectivement de $X_j$ et $X_k$, et $g_k \circ g_j^{-1}$ est un homéomorphisme entre eux.

Alors il existe une unique topologie $\sigma$ sur $E$ telle que pour tout $i\in I$, $V_i \in \sigma$ et $g_i: V_i \to g_i(V_i)$ est un homéomorphime.

La preuve est routinière ($\sigma$ est l'ensemble des $U\subseteq E$ tels que $g_k(U \cap V_k) \in \tau_k$ pour tout $k\in I$).