Disques de Gerschgorin

Bonjour,

C'est le livre d'algèbre linéaire de Roger Mansuy.

Alors je vais suivre le lien de Poirot, que je remercie pour le coup de main, il y a pleins de bonnes choses dans son lien !

Alors je vais récapituler au lieu de capituler pour voir si j'ai bien compris. Soit $M$ une composante connexe sur l'union des disques de Gerschgorin et $N$ la composante connexe disjointe. Disons qu'il y a $p$ disques de Gerschgorin dans $M$. Montrons alors qu'il y a $p$ valeurs propres dans $M$.

Considérons la matrice $B(t)= D + t(A-D)$ avec $D$ la diagonale de $A$ c'est à dire que $B(t)$ est la matrice $a_{i,i}$ sur la diagonale et $t a_{i,j}$ ailleurs.
Les disques de Gerschgorin de $B(t)$ sont les $D_{i}(t)$ de centre $a_{i,i}$ et de rayon $t \left( \sum_{j\ne i} |a_{i,j}| \right) $ et remarque que ces disques sont croissants en $t$. Plus précisément si on se concentre sur les composantes $M$ qui contient $p$ disques de $B(1)$ on voit que elle contient $p$ disques de $B(0)$ et ces disques vont s'agrandir en $t$ et en restant dans $M$ jusqu'à former $M$.

C'est ici qu'intervient la continuité des valeurs propres. En effet notons $\lambda(t)$ le vecteur des valeurs propres de $B(t)$. On a que $\lambda(0)_{i} = a_{i,i} \in M$. Par le théorème de Gerschgorin on a $\lambda(t)_{i} \in \cup_{i} B_{i}(t)$ on a par continuité que $\lambda(1)_{i} \in M$.
La continuité des valeurs propres permet aussi d'assurer que $\lambda(1)_{i} \in \sigma(A)$.

Ceci étant vrai pour tous les indices $i$ tel que $a_{i,i} \in M$ on en déduit que $M$ contient au moins $p$ valeur propre de $A$. Mais le même raisonnement sur $N$ montre que $N$ contient au moins $n-p$ valeurs propres.
On en déduit que $M$ contient $p$ valeurs propres. Et $N$ contient $n-p$ valeurs propres.

Un des difficultés de la preuve est qu'on souhaite considérer $\lambda_{i}(t)$ qui est la $i$ ième valeur propre de $B(t)$. Cela me pose quelques soucis, par exemple que dire des valeurs propres multiples.